ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НЕСТАБИЛЬНОСТИ ВАКУУМА НА СТУПЕНИ КЛЕЙНА В РАМКАХ КАРТИНЫ ФАРРИ
|
ОГЛАВЛЕНИЕ 1
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Квантование поля в присутствии критических потенциальных ступеней 7
1.1 КЭД с неоднородными стационарными электрическими полями 7
1.2 Потенциальная ступень Клейна 15
1.3 Прикладные аспекты теории 19
2 Ступень Клейна в бозонном поле 21
2.1 Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока 21
2.2 Вычисление характеристик нестабильности вакуума 23
3 Ступень Клейна в фермионном поле 27
3.1 Решение уравнения Дирака 27
3.2 Вычисление характеристик нестабильности вакуума 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 37
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Квантование поля в присутствии критических потенциальных ступеней 7
1.1 КЭД с неоднородными стационарными электрическими полями 7
1.2 Потенциальная ступень Клейна 15
1.3 Прикладные аспекты теории 19
2 Ступень Клейна в бозонном поле 21
2.1 Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока 21
2.2 Вычисление характеристик нестабильности вакуума 23
3 Ступень Клейна в фермионном поле 27
3.1 Решение уравнения Дирака 27
3.2 Вычисление характеристик нестабильности вакуума 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 37
Эффект рождения частиц сильными электромагнитными и гравитационными полями привлекал внимание ученых, которые работают в области физики высоких энергий, в течении долгого времени. Этот эффект имеет квантовую природу, поэтому он впервые был рассмотрен в рамках релятивисткой квантовой механики. Наиболее оптимальным подходом к рассмотрению подобных эффектов является использование моделей квантовой теории поля (КТП) с внешним взаимодействием. В рамках этих моделей рождение частиц можно связать с нарушением стабильности вакуума. В этой работе под вакуумом понимается вакуум квантовой электродинамики (КЭД), т. е. состояние с минимальной энергией системы. Внешние поля, которые нарушают стабильность вакуума, называют электроподобными полями. Такие поля совершают ненулевую работу при взаимодействии с заряженными частицами. В зависимости от структуры подобных полей, были предложены различные подходы для анализа характеристик эффектов нестабильности вакуума. Изначально, процесс рождения частиц рассматривался для нестационарных внешних полей, которые имеют импульсный характер. Далее подобные поля будем называть t-электрическими потенциальными ступенями.
Рассеяние, рождение частиц из вакуума и их уничтожение на t-электрических потенциальных ступенях хорошо изучено в рамках релятивистской квантовой механики [1, 2, 3, 4]. Для этих эффектов сформулирована общая модель в рамках КЭД и КТП [5]. Однако, существует множество ситуаций, когда внешнее поле не исчезает в пределе бесконечного времени, что не позволяет рассматривать такие поля как t-электрические потенциальные ступени. В качестве примера можно назвать стационарные неравномерные электрические поля, которые сконцентрированы в малой области пространства. Эти поля являются пространственными потенциальными ступенями (в дальнейшем будем называть их x-электрическими потенциальными ступенями). Хорошо известным примером х- электрической потенциальной ступени, рождающей частицы из вакуума, является ступенька Клейна [6, 7, 8]. Явление рождения частиц на этой ступеньке также тесно связано с парадоксом Клейна.
Парадокс Клейна заключается в том, что при рассеянии частиц, которые имеют определенный диапазон значений энергии, на высокой прямоугольной потенциальной ступени, возникает ситуация, когда коэффициент отражения становится больше единицы. Это означает, что число отраженных частиц больше, чем число падающих на барьер. Можно найти множество различных интерпретаций этого парадокса [9, 10, 11]. В этих интерпретациях парадокс Клейна рассматривают как некоторое особое поведение стационарных решений для фермионов и бозонов. Сразу после оригинальной статьи Клейна, Саутер принялся за изучение этого феномена. Он рассматривал, помимо самой ступени Клейна, сглаженный (более реалистичный физически) потенциал 0E0th (х/ 0}, который называют Саутеровским потенциалом [8].
Подходы, разработанные для описания квантовых эффектов на t-электрических потенциальных ступенях, нельзя прямо применить для х-электрических ступеней. Эвристические вычисления для подобных ситуаций были проведены Никишовым [2, 12], а затем доработаны Хансеном и Раундалем [13]. Однако, в то время не было возможно оправдать подобный подход к вычислениям характеристик с точки зрения КТП. Так возникала ситуация, когда вопрос, относящийся к базовым аспектам релятивистской квантовой механики, не до конца изучен и плохо представлен в научной литературе. Никишов [14] подметил некоторые проблемы в интерпретации, которую дали Хансен и Раундаль. Первые численные пространственно-временные модели для парадокса Клейна были изучены для модели из трех частиц [10]. Было показано, что электрон-позитронные пары рождаются на барьере, и опровергнуто, что электрон “выбивает” частицы из самого барьера [3] или “стимулирует” рождение пар [15]. В недавней работе было проведено численное моделирование эволюции Дираковского спинора в присутствии линейного потенциала с захваченными ионами, а результаты были интерпретированы как переход электрона в область отрицательных энергий [11].
В последние годы возникло внимание к доработке математических моделей для специфических ситуаций и прикладных аспектов. Основная мотивация к выполнению данной работы лежит в объяснении различных известных эффектов. В частности, эффект Унру [4, 16, 17], который заключается в излучении частиц из черных дыр и космологических горизонтов. Современный прогресс в физике лазеров позволяет надеяться, что эффект рождения частиц будет экспериментально воспроизведен в лабораторных условиях [18]. На данный момент существует определенный интерес к изучению реальных неоднородных полей с использованием полуклассических и численных методов. Недавнее экспериментальное исследование динамического эффекта Казимира, и подтверждение аналога Хокинговского излучения для сверхпроводящих электрических цепей связывают эти эффекты с физикой конденсированного состояния вещества [19]. Для этой области эффект рождения частиц в сильных полях был подтвержден экспериментально в графене и прочих подобных наноструктурах, к примеру, в топологических изоляторах и полуметаллах Вейля [20, 21]. Особенно эффект рождения частиц важен для понимания проводимости графена на нелинейном участке вольтамперной характеристики. Рождение пары электрон-дырка было недавно обнаружено в графене благодаря непрямому влиянию на его проводимость [22]. Проводимость графена с учетом этого эффекта была описана в рамках КТП с t- электрическими потенциалами [23, 24, 25].
В данной работе рассмотрен случай канонического квантования Дираковского и скалярного поля в присутствии пространственных потенциальных ступеней:
1. В первой главе рассматривается общая теория квантования Дираковского и скалярного поля в присутствии х-электрических ступеней.
2. Во второй главе рассчитываются характеристики нестабильности вакуума для скалярного массового поля на ступени Клейна.
3. В третьей главе изучаются аналогичные характеристики для фермионного массового поля.
Найдены значения коэффициентов прохождения, отражения и значения дифференциального числа рождающихся электрон-позитронных пар. Произведено решение уравнения Дирака и уравнения Клейна-Гордона-Фока для потенциальной ступени Клейна [24, 26]. Полученные решения рассматриваются в рамках модели in- и out-частиц, что позволяет вычислить соответствующие характеристики нестабильности вакуума.
Рассеяние, рождение частиц из вакуума и их уничтожение на t-электрических потенциальных ступенях хорошо изучено в рамках релятивистской квантовой механики [1, 2, 3, 4]. Для этих эффектов сформулирована общая модель в рамках КЭД и КТП [5]. Однако, существует множество ситуаций, когда внешнее поле не исчезает в пределе бесконечного времени, что не позволяет рассматривать такие поля как t-электрические потенциальные ступени. В качестве примера можно назвать стационарные неравномерные электрические поля, которые сконцентрированы в малой области пространства. Эти поля являются пространственными потенциальными ступенями (в дальнейшем будем называть их x-электрическими потенциальными ступенями). Хорошо известным примером х- электрической потенциальной ступени, рождающей частицы из вакуума, является ступенька Клейна [6, 7, 8]. Явление рождения частиц на этой ступеньке также тесно связано с парадоксом Клейна.
Парадокс Клейна заключается в том, что при рассеянии частиц, которые имеют определенный диапазон значений энергии, на высокой прямоугольной потенциальной ступени, возникает ситуация, когда коэффициент отражения становится больше единицы. Это означает, что число отраженных частиц больше, чем число падающих на барьер. Можно найти множество различных интерпретаций этого парадокса [9, 10, 11]. В этих интерпретациях парадокс Клейна рассматривают как некоторое особое поведение стационарных решений для фермионов и бозонов. Сразу после оригинальной статьи Клейна, Саутер принялся за изучение этого феномена. Он рассматривал, помимо самой ступени Клейна, сглаженный (более реалистичный физически) потенциал 0E0th (х/ 0}, который называют Саутеровским потенциалом [8].
Подходы, разработанные для описания квантовых эффектов на t-электрических потенциальных ступенях, нельзя прямо применить для х-электрических ступеней. Эвристические вычисления для подобных ситуаций были проведены Никишовым [2, 12], а затем доработаны Хансеном и Раундалем [13]. Однако, в то время не было возможно оправдать подобный подход к вычислениям характеристик с точки зрения КТП. Так возникала ситуация, когда вопрос, относящийся к базовым аспектам релятивистской квантовой механики, не до конца изучен и плохо представлен в научной литературе. Никишов [14] подметил некоторые проблемы в интерпретации, которую дали Хансен и Раундаль. Первые численные пространственно-временные модели для парадокса Клейна были изучены для модели из трех частиц [10]. Было показано, что электрон-позитронные пары рождаются на барьере, и опровергнуто, что электрон “выбивает” частицы из самого барьера [3] или “стимулирует” рождение пар [15]. В недавней работе было проведено численное моделирование эволюции Дираковского спинора в присутствии линейного потенциала с захваченными ионами, а результаты были интерпретированы как переход электрона в область отрицательных энергий [11].
В последние годы возникло внимание к доработке математических моделей для специфических ситуаций и прикладных аспектов. Основная мотивация к выполнению данной работы лежит в объяснении различных известных эффектов. В частности, эффект Унру [4, 16, 17], который заключается в излучении частиц из черных дыр и космологических горизонтов. Современный прогресс в физике лазеров позволяет надеяться, что эффект рождения частиц будет экспериментально воспроизведен в лабораторных условиях [18]. На данный момент существует определенный интерес к изучению реальных неоднородных полей с использованием полуклассических и численных методов. Недавнее экспериментальное исследование динамического эффекта Казимира, и подтверждение аналога Хокинговского излучения для сверхпроводящих электрических цепей связывают эти эффекты с физикой конденсированного состояния вещества [19]. Для этой области эффект рождения частиц в сильных полях был подтвержден экспериментально в графене и прочих подобных наноструктурах, к примеру, в топологических изоляторах и полуметаллах Вейля [20, 21]. Особенно эффект рождения частиц важен для понимания проводимости графена на нелинейном участке вольтамперной характеристики. Рождение пары электрон-дырка было недавно обнаружено в графене благодаря непрямому влиянию на его проводимость [22]. Проводимость графена с учетом этого эффекта была описана в рамках КТП с t- электрическими потенциалами [23, 24, 25].
В данной работе рассмотрен случай канонического квантования Дираковского и скалярного поля в присутствии пространственных потенциальных ступеней:
1. В первой главе рассматривается общая теория квантования Дираковского и скалярного поля в присутствии х-электрических ступеней.
2. Во второй главе рассчитываются характеристики нестабильности вакуума для скалярного массового поля на ступени Клейна.
3. В третьей главе изучаются аналогичные характеристики для фермионного массового поля.
Найдены значения коэффициентов прохождения, отражения и значения дифференциального числа рождающихся электрон-позитронных пар. Произведено решение уравнения Дирака и уравнения Клейна-Гордона-Фока для потенциальной ступени Клейна [24, 26]. Полученные решения рассматриваются в рамках модели in- и out-частиц, что позволяет вычислить соответствующие характеристики нестабильности вакуума.
Поставленные задачи вычисления характеристик нестабильности вакуума для полей бозонов и фермионов в присутствии критической потенциальной ступени были полностью выполнены. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами в работах А. И. Никишова, Ф. Саутера, Д. М. Гитмана и С. П. Гаврилова [1, 2, 5, 7, 8, 26]. Однако, использованный подход, в отличие от более ранних работ [1, 2, 7, 8,], полностью основан на формализме квантовой электродинамики. Согласие полученных результатов и известных раннее позволяет судить о состоятельности применяемой теории. Использование формализма квантовой теории поля позволило провести классификацию конечных и начальных состояний частиц в процессе рассеяния. Таким образом, оказалось возможным вычислить число рождающихся на барьере частиц.
При рассмотрении скалярного поля бозонов, которое описывается уравнением Клейна-Гордона-Фока, были проверены два предельных случая: бесконечно-высокая потенциальная ступень и ее отсутствие. Рассмотрение случая с отсутствием ступени дает логичный результат о свободном распространении частицы без рассеяния для всех диапазонов квантовых чисел. Результат для потенциальной ступени Клейна бесконечной высоты соответствует полному отражению частицы от барьера. Для диапазона квантовых чисел, в котором выполняется условие я < р0 < U -яу ^ я0 (L)> яу л ,г0 (R)<-я±, происходит рождение бесконечного числа частиц на барьере, при условии близости абсолютных значений полного импульса pR ~|pL. Это является следствием статистических свойств бозонов, которые не имеют ограничения на количество частиц с одинаковыми квантовыми числами, в отличие от фермионов.
Результирующие выражения для характеристик нестабильности вакуума для фермионного поля, описываемого уравнением Дирака, дали согласие с уже известными результатами [1, 2, 5, 7, 8, 26]. Случай отсутствия потенциальной ступени аналогичен свободному пространству. Рассмотрения случая бесконечно-высокой потенциальной ступени Клейна дает единичное значение коэффициента отражения, т. е. частицы полностью отражаются от ступени. Эти два предельных случая согласуются с общеизвестными физическими принципами в теории рассеяния [28, 35]. Показано, что при рассмотрении задачи о рассеянии на потенциальной ступени Клейна в рамках квантово-полевой теории, которая разработана Д. М. Гитманом и С. П. Гавриловым [26], не возникает явления парадокса Клейна. Различие количества падающих частиц и рассеянных частиц объясняется наличием эффекта рождения пар на ступени Клейна, так как данная потенциальная функция соответствует мощному локализованному электрическому полю, способному нарушать стабильность вакуума. Достаточно сильные поля, напряженности которых превышают упомянутое во введении критическое значение, способны превращать рождаемые виртуальные пары частиц, являющиеся следствием флуктуаций вакуума в КЭД [26, 27], в реальные частицы.
Полученные результаты могут быть использованы для описания квантовых характеристик проводимости в графеновых структурах [11, 20, 25]. Отсутствие запрещенной зоны позволит использовать данный материал в сенсорах и детекторах теплового излучения [21]. Также возможно создание двумерного метаматериала оптического диапазона на основе графена [36].
При рассмотрении скалярного поля бозонов, которое описывается уравнением Клейна-Гордона-Фока, были проверены два предельных случая: бесконечно-высокая потенциальная ступень и ее отсутствие. Рассмотрение случая с отсутствием ступени дает логичный результат о свободном распространении частицы без рассеяния для всех диапазонов квантовых чисел. Результат для потенциальной ступени Клейна бесконечной высоты соответствует полному отражению частицы от барьера. Для диапазона квантовых чисел, в котором выполняется условие я < р0 < U -яу ^ я0 (L)> яу л ,г0 (R)<-я±, происходит рождение бесконечного числа частиц на барьере, при условии близости абсолютных значений полного импульса pR ~|pL. Это является следствием статистических свойств бозонов, которые не имеют ограничения на количество частиц с одинаковыми квантовыми числами, в отличие от фермионов.
Результирующие выражения для характеристик нестабильности вакуума для фермионного поля, описываемого уравнением Дирака, дали согласие с уже известными результатами [1, 2, 5, 7, 8, 26]. Случай отсутствия потенциальной ступени аналогичен свободному пространству. Рассмотрения случая бесконечно-высокой потенциальной ступени Клейна дает единичное значение коэффициента отражения, т. е. частицы полностью отражаются от ступени. Эти два предельных случая согласуются с общеизвестными физическими принципами в теории рассеяния [28, 35]. Показано, что при рассмотрении задачи о рассеянии на потенциальной ступени Клейна в рамках квантово-полевой теории, которая разработана Д. М. Гитманом и С. П. Гавриловым [26], не возникает явления парадокса Клейна. Различие количества падающих частиц и рассеянных частиц объясняется наличием эффекта рождения пар на ступени Клейна, так как данная потенциальная функция соответствует мощному локализованному электрическому полю, способному нарушать стабильность вакуума. Достаточно сильные поля, напряженности которых превышают упомянутое во введении критическое значение, способны превращать рождаемые виртуальные пары частиц, являющиеся следствием флуктуаций вакуума в КЭД [26, 27], в реальные частицы.
Полученные результаты могут быть использованы для описания квантовых характеристик проводимости в графеновых структурах [11, 20, 25]. Отсутствие запрещенной зоны позволит использовать данный материал в сенсорах и детекторах теплового излучения [21]. Также возможно создание двумерного метаматериала оптического диапазона на основе графена [36].
