Указатель обозначений 3
Введение 5
§ 1. Прямые суммы и их свойства 6
§ 2. Циклические группы 9
§3. Прямые суммы циклических групп 11
§ 4. Прямые суммы циклических /2-групп 15
§ 5. Вполне инертные подгруппы абелевых групп 20
§6. Связь ф-инертных и вполне инертных подгрупп 20
§7. Вполне инертные подгруппы делимых абелевых групп 25
§ 8. Соизмеримость вполне инертных и вполне инвариантных подгрупп свободных групп 30
§ 9. Свойства инертных групп, связанных с их прямыми разложениями 34
Заключение 39
Список использованной литературы: 40
Понятие прямой суммы в теории абелевых групп крайне важно. Это обусловлено двумя факторами. Во-первых, если группа разлагается в прямую сумму, то ее можно изучать, исследуя компоненты в прямой сумме, которые во многих случаях устроены проще, чем сама группа. Во-вторых, можно строить новые группы, беря прямые суммы уже известных групп.
Почти все структурные теоремы об абелевых группах включают в себя, явно или неявно, некоторое прямое разложение.
Существуют два способа введения прямых сумм. А именно можно, в зависимости от поставленной задачи, рассматривать как внутреннюю, так и внешнюю прямую сумму.
В работе рассматриваются прямые суммы циклических групп. Их выбор объясняется во-первых тем, что это один из наиболее изученных классов групп, они могут быть охарактеризованы с помощью достаточно простых инвариантов, во-вторых исследование других классов абелевых групп основано до некоторой степени на том, что мы знаем о прямых суммах циклических групп. В §1—4 рассмотрены свойства прямых сумм циклических групп.
Пусть Gгруппа и Н подгруппа в G. Подгруппа Н в группе Gназывается вполне инертной, если Н Л ф(Н') имеет конечный индекс ф(Н') для любого эндоморфизма ф группы G. Вполне инертные подгруппы представляют собой обобщение конечных подгрупп и подгрупп с конечным индексом, а также вполне инвариантных подгрупп.
Изучение вполне инертных подгрупп некоммутативных групп началось в работах В. В. Беляева [1], а в абелевых группах в работах D. Dikranjan, A. Giordano Bruno, L. Salce, S. Virili [7]. В §5 — 9 рассматриваются свойства вполне инертных подгрупп и их строение в прямых суммах циклических групп.
В данной работе рассматривались прямые суммы циклических групп, в частности свободные группы. Полученные сведенья используются в §5—9 при изучении вполне инертных подгрупп свободных и делимых групп. Были разобраны статьи Dikranjan D., Giordano Bruno А., Salce L., Virili S. и др. Построены примеры вполне инертных подгрупп с различными свойствами. В дальнейшем предполагается рассмотрение и изучение вполне инертных подгрупп классов групп, близких к рассмотренным.
