Введение 1 Зависимость искажения пространства C0(K) при линейном вложении в
пространство С0(Г, X) от высоты К 4-12
2 Свойства пространств C(K, S) 13-20
Заключение 21
Список использованной литературы 22
Данная работа посвящена, во-первых, изучению оценки искажения нормы | | Т || | | Т- 1 | | отображений между пространствами Со(К) и С0(Г, X). Пусть К — локально компактное хаусдорфово пространство. С0(К) — пространство всех непрерывных вещественнозначных функций х: К — R, которые сходятся к нулю на бесконечности, снабженное нормой
| | х 11 = sи р{ | | х( t) | | : t е К} . Пусть Г — бесконечное множество, наделенное дискретной топологией и Х — банахово пространство. Обозначим через С0(Г, X) банахово пространство X-значных функций х : Г — X, которые сходятся к нулю на бесконечности, снабженное нормой
| | х || = sup{ | | x(t) | | :t е Г}.
Мы приводим подробное доказательство теоремы 1 (см. [1]) немного отличающееся от доказательства авторов для случая X= R, но оно гораздо проще и менее громоздко.
Теорема 1. [1] Пусть K — локально компактное хаусдорфово пространство, Г — бесконечное множество с дискретной топологией, X — банахово пространство, имеющее нетривиальный котип. Предположим, что существует линейный изоморфизм T из C0(K) в С0(Г, X). Тогда K имеет конечную высоту и | | Т | || | Т- 1 | | > 2ht(K)-1.
Во-вторых, рассматриваем свойства пространств отображений С(К, S), где К — компакт, а S — прямая Зоргенфрея. С(К, S) — пространство всех непрерывных отображений, наделенное топологией «равномерной» сходимости , определенной по аналогии с топологией равномерной сходимости. Мы изучаем топологические свойства пространств С( К, S) при К= [1, щ] и его подпространств С0(К, S) и С00(К, S).
В первом пункте дипломной работе мы привели доказательство теоремы 1 (см. [1]) для случая X= R. И более четко увидели, что расстояние Банаха-Мазура увеличивается в зависимости от высоты компакта К.
Во втором пункте мы рассмотрели пространства отображений С( K, S). Определили топологию ти «равномерной» сходимости на пространстве С(К, S), определенную по аналогии с топологией равномерной сходимости. В пространстве С( К, S) и его подпространствах Со (К, S) и Coo (К, S) мы изучили непрерывность алгебраических операций и некоторые топологические свойства: размерность, вес, характер, сепарабельность, клеточность.
