ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАССИВНОГО ПОЛЯ СО СПИНОМ 2 С ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ МИНКОВСКОГО
|
Введение 3
1 Динамика свободных полей высших спинов 7
1.1 Калибровочно-инвариантная формулировка безмассовых полей 7
1.1.1 Спин 0 7
1.1.2 Спин 1 8
1.1.3 Спин 2 8
1.1.4 Произвольный целый спин s 9
1.2 Калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей 10
1.2.1 Спин 0 10
1.2.2 Спин 1 10
1.2.3 Спин 2 13
1.2.4 Произвольный целый спин s 17
2 Электромагнитное взаимодействие полей со спином 2 19
2.1 Проблема включения электромагнитного взаимодействия 20
2.2 Процедура построения взаимодействия с внешним электромагнитным по¬
лем 22
2.3 Кубичная вершина взаимодействия для безмассового поля 24
2.4 Кубичная вершина взаимодействия для массивного поля 26
Заключение 34
A Вариации безмассового поля спина 2 36
B Вариации массивного поля спина 2 37
Список использованной литературы 41
1 Динамика свободных полей высших спинов 7
1.1 Калибровочно-инвариантная формулировка безмассовых полей 7
1.1.1 Спин 0 7
1.1.2 Спин 1 8
1.1.3 Спин 2 8
1.1.4 Произвольный целый спин s 9
1.2 Калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей 10
1.2.1 Спин 0 10
1.2.2 Спин 1 10
1.2.3 Спин 2 13
1.2.4 Произвольный целый спин s 17
2 Электромагнитное взаимодействие полей со спином 2 19
2.1 Проблема включения электромагнитного взаимодействия 20
2.2 Процедура построения взаимодействия с внешним электромагнитным по¬
лем 22
2.3 Кубичная вершина взаимодействия для безмассового поля 24
2.4 Кубичная вершина взаимодействия для массивного поля 26
Заключение 34
A Вариации безмассового поля спина 2 36
B Вариации массивного поля спина 2 37
Список использованной литературы 41
Проблема построения теории полей высших спинов и изучения ее физических приложений является одной из открытых проблем современной теоретической физики. Хорошо известно, что в пространстве Минковского понятие спина связано с неприводимым представлением группы Пуанкаре. Массивные неприводимые представления характеризуются массой и спином, безмассовые - спиральностью, которую обычно тоже называют спином. Лагранжевы формулировки полей с низшими спинами 0, 1/2, 1 построены много лет назад и широко используются в физике элементраных частиц, в частности, в современной объединенной теории электрослабого и сильного взаимодействий (см. напр. [1]).
Взаимодействующая теория безмассового поля со спином 2 представляет собой эйнштейновскую общую теорию относительности. Взаимодействующие безмассовые поля со спином 3/2 и 2 описываются супергравитацией. Лагранжева формулировка взаимодействующих полей других спинов, свободная от внутренних противоречий, в настоящее время неизвестна. Также следует отметить, что резонансное состояния с высшими спинами регистрируются в экспериментах по рассеянию элементарных частиц и что частицы с высшими спинами естественным образом возникают в теории суперструн, претендующей на объединенную теорию всех фундаментальных взаимодействий (см. напр. [2]). В связи с этим проблемы теорий полей высших спинов привлекают значительное внимание и широко обсуждаются в современной литературе по теоретической физике высоких энергий (см. обзоры [3-6]).
Важность лагранжевой формулировки для полей высших спинов обусловлена в первую очередь тем, что она является основной для построения квантовой теории. Действительно, каноническое квантование предполагает, что рассматриваемая теория приведена к гамильтоновой форме, которая в свою очередь, выводится из лагранжевой формулировки. Квантование с помощью функционального интеграла предполагает известным классическое действие, то есть опять же лагранжеву формулировку. Поэтому изучение квантовых аспектов теории полей высших спинов с неизбежностью связано с развитием ее лагранжевой формулировки.
В общем, в теории поля рассматриваются две основные проблемы, связанные с взаимодействующими полями. Первая - взаимодействие между несколькими полями, а вторая - взаимодействие рассматриваемого поля с некоторым внешним (электромагнитным, гравитационным и т.д.). В классической теории поля эти проблемы тесно связаны, но в теории полей высших спинов, где общий лагранжиан взаимодействия еще не найден, эти виды взаимодействий могут изучаться как самостоятельные задачи (при этом построение взаимодействия с внешним полем является более простой).
Проблемы согласованности теории взаимодействия полей высших спинов с внешним электромагнитным полем были изучены в статьях [7-9]. В работе [10] было изучено взаимодействие полей высших спинов с внешним гравитационным полем на примере спина 2. Первые попытки построения лагранжиана взаимодействия для полей высших спинов были предприняты в работах [11,12] и [13], в них были рассмотрены безмассовые поля, а также отмечены проблемы согласованности. Существенный прогресс в понимании взаимодействия безмассовых полей высших спинов с гравитационным полем был достигнут в статьях [14-16], где было показано, что такое взаимодействие требует включения полей всех спинов, а также была представлена симметрия полей высших спинов и построены кубичные вершины взаимодействия полей всех спинов с внешним гравитационным полем и было показано, что такие вершины существуют только в пространстве (A)dS. Позже в работах [17,18] были найдены согласованные уравнения движения для всех взаимодействующих безмассовых полей высшего спина. А не так давно в статьях [19,20] были представлены аргументы, что эти уравнения могут оказать лагранжевыми.
В настоящее время разрабатываются различные подходы для построения взаимодействий полей высших спинов, и был достигнут определенный прогресс в поиске кубичных вершин для безмассовых и массивных полей (см. статьи [21-34]).
Цель данной работы состоит в построении общего вида вершины взаимодействия низшего порядка для безмассовых и массивных бозонных полей, взаимодействующих с постоянным внешним электромагнитным полем (на примере полей спина 2). Как мы отметили ранее, построение лагранжевой формулировки взаимодействия полей высших спинов с внешним полем является независимой задачей. В нашей работе мы ей и ограничимся.
Различные аспекты лагранжевой формулировки полей высших спинов находящихся во внешнем электромагнитном поле обсуждены в статьях [35-42]. Стоит упомянуть, что были предприняты попытки построения уравнений движения для полей высших спинов во внешнем электромагнитном и гравитационном полях для теории струн (см. [43-46]). Общая проблема построения кубичных вершин взаимодействия для полей произвольного высшего спина во внешнем электромагнитном поле является до сих пор открытой.
Большая часть работы основана на [47] и она организована следующим образом. В первой главе мы рассмотрим безмассовую и массивную теорию свободных полей высших целых спинов, на примере полей со спинами 0, 1 и 2. Рассмотрение таких полей позволит нам не только более легко и понятно выработать принцип описания теории полей высших спинов , но и выработать навык для описания общего случая - безмассовых и массивных полей с произвольным целым спином s. Во второй главе мы обозначим проблему построения электромагнитного взаимодействия для полей высших спинов, а также отметим общую процедуру построения такого взаимодействия. После чего найдем кубичные вершины взаимодействия для безмассового и массивного поля спина 2 во внешнем постоянном электромагнитном поле. В заключении подведен итог всей проделанной работы. Большая часть промежуточных вычислений приведена в Приложении.
Взаимодействующая теория безмассового поля со спином 2 представляет собой эйнштейновскую общую теорию относительности. Взаимодействующие безмассовые поля со спином 3/2 и 2 описываются супергравитацией. Лагранжева формулировка взаимодействующих полей других спинов, свободная от внутренних противоречий, в настоящее время неизвестна. Также следует отметить, что резонансное состояния с высшими спинами регистрируются в экспериментах по рассеянию элементарных частиц и что частицы с высшими спинами естественным образом возникают в теории суперструн, претендующей на объединенную теорию всех фундаментальных взаимодействий (см. напр. [2]). В связи с этим проблемы теорий полей высших спинов привлекают значительное внимание и широко обсуждаются в современной литературе по теоретической физике высоких энергий (см. обзоры [3-6]).
Важность лагранжевой формулировки для полей высших спинов обусловлена в первую очередь тем, что она является основной для построения квантовой теории. Действительно, каноническое квантование предполагает, что рассматриваемая теория приведена к гамильтоновой форме, которая в свою очередь, выводится из лагранжевой формулировки. Квантование с помощью функционального интеграла предполагает известным классическое действие, то есть опять же лагранжеву формулировку. Поэтому изучение квантовых аспектов теории полей высших спинов с неизбежностью связано с развитием ее лагранжевой формулировки.
В общем, в теории поля рассматриваются две основные проблемы, связанные с взаимодействующими полями. Первая - взаимодействие между несколькими полями, а вторая - взаимодействие рассматриваемого поля с некоторым внешним (электромагнитным, гравитационным и т.д.). В классической теории поля эти проблемы тесно связаны, но в теории полей высших спинов, где общий лагранжиан взаимодействия еще не найден, эти виды взаимодействий могут изучаться как самостоятельные задачи (при этом построение взаимодействия с внешним полем является более простой).
Проблемы согласованности теории взаимодействия полей высших спинов с внешним электромагнитным полем были изучены в статьях [7-9]. В работе [10] было изучено взаимодействие полей высших спинов с внешним гравитационным полем на примере спина 2. Первые попытки построения лагранжиана взаимодействия для полей высших спинов были предприняты в работах [11,12] и [13], в них были рассмотрены безмассовые поля, а также отмечены проблемы согласованности. Существенный прогресс в понимании взаимодействия безмассовых полей высших спинов с гравитационным полем был достигнут в статьях [14-16], где было показано, что такое взаимодействие требует включения полей всех спинов, а также была представлена симметрия полей высших спинов и построены кубичные вершины взаимодействия полей всех спинов с внешним гравитационным полем и было показано, что такие вершины существуют только в пространстве (A)dS. Позже в работах [17,18] были найдены согласованные уравнения движения для всех взаимодействующих безмассовых полей высшего спина. А не так давно в статьях [19,20] были представлены аргументы, что эти уравнения могут оказать лагранжевыми.
В настоящее время разрабатываются различные подходы для построения взаимодействий полей высших спинов, и был достигнут определенный прогресс в поиске кубичных вершин для безмассовых и массивных полей (см. статьи [21-34]).
Цель данной работы состоит в построении общего вида вершины взаимодействия низшего порядка для безмассовых и массивных бозонных полей, взаимодействующих с постоянным внешним электромагнитным полем (на примере полей спина 2). Как мы отметили ранее, построение лагранжевой формулировки взаимодействия полей высших спинов с внешним полем является независимой задачей. В нашей работе мы ей и ограничимся.
Различные аспекты лагранжевой формулировки полей высших спинов находящихся во внешнем электромагнитном поле обсуждены в статьях [35-42]. Стоит упомянуть, что были предприняты попытки построения уравнений движения для полей высших спинов во внешнем электромагнитном и гравитационном полях для теории струн (см. [43-46]). Общая проблема построения кубичных вершин взаимодействия для полей произвольного высшего спина во внешнем электромагнитном поле является до сих пор открытой.
Большая часть работы основана на [47] и она организована следующим образом. В первой главе мы рассмотрим безмассовую и массивную теорию свободных полей высших целых спинов, на примере полей со спинами 0, 1 и 2. Рассмотрение таких полей позволит нам не только более легко и понятно выработать принцип описания теории полей высших спинов , но и выработать навык для описания общего случая - безмассовых и массивных полей с произвольным целым спином s. Во второй главе мы обозначим проблему построения электромагнитного взаимодействия для полей высших спинов, а также отметим общую процедуру построения такого взаимодействия. После чего найдем кубичные вершины взаимодействия для безмассового и массивного поля спина 2 во внешнем постоянном электромагнитном поле. В заключении подведен итог всей проделанной работы. Большая часть промежуточных вычислений приведена в Приложении.
В данной работе была рассмотрена проблема включения электромагнитного взаимодействия для безмассовых и массивных бозонных полей высших спинов на примере полей со спином 2.
В первой главе мы рассмотрели теорию свободных полей и дали калибровочноинвариантную формулировку для полей произвольного целого спина. Вначале мы рассмотрели случай безмассовых полей, для которых калибровочно-инвариантное описание является единственной возможность работать в явно лоренц-ковариантном виде. Такое описание дано последовательно для полей со спином 0, 1, 2 и обобщено для произвольного целого спина s. Затем была дана калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей высших спинов, которая реализуется как система безмассовых полей, связанных штюкельберговскими симметриями. Данное построение начинается с суммы лагранжианов для безмассовых полей (кинетические члены) и соответствующих калибровочных преобразований. Затем добавляются перекрестные и массовые члены к лагранжиану и калибровочных преобразованиям. Полный вид лагранжиана фиксируется из условия калибровочной инвариантности модифицированного лагранжиана относительно модицифированных калибровочных преобразований. Такая схема подробно рассмотрена для спинов 0, 1, 2 и обобщена на случай произвольного целого спина. Все построенные лагранжианы имеют правильный безмассовый предел, в том смысле, что не происходить скачка физических степеней свободы.
Во второй главе была построено электромагнитное взаимодействия полей высших спинов. Для полей со спином 0 и 1 включение электромагнитного взаимодействия осуществляется стандартным образом, заменой обычных производных на ковариантные. Такое взаимодействие называется минимальным. Проблема включения минимального взаимодействия возникается уже на примере спина 2, характерна, в общем случае, для всех высших спинов. Решение данной проблемы - это построение неминимального взаимодействия. В дальнейшем построение такого взаимодействия показано на примере спина 2. Для удобства лагранжиан и калибровочные преобразования были разбиты на части естественные для свободной теории (основные) и линейные по напряженности электромагнитного поля (первые поправки), также мы приняли, что будет рассматривать члены только линейные по F,n,, пренебрегая квадратичными членами. Затем мы нашли кубичные вершины взаимодействия заряженного безмассового поля спина 2 с внешним электромагнитным полем. Для этого нами были введены поправки к лагранжиану (15) и калибровочным преобразованиям (16) в наиболее общем виде. Затем из условия калибровочной инвариатности нашего полного лагранжиана мы получили, что все введенные в (15) произвольные коэффициенты выражаются через параметр калибровочных преобразований 73 - (17). Тем самым мы получили однопараметрические семейства лагранжианов и калибровочных преобразований.
Затем мы рассматривали заряженное массивное поле спина 2 в внешнем постоянном электромагнитным поле. Для начала мы рассмотрели свободную теорию, все выражения для которой были найдены нами в первой главе. Затем нами при помощи ковариантных производных вида (19) было введено минимальное взаимодействие, которое нарушило калибровочную инвариантность теории. Поэтому нами было введено дополнительное неминимальное взаимодействие и вместе с ним новые поправки к лагранжиану (22), (25) и к калибровочным преобразованиям (21), (24). Калибровочная инвариатность была восстановлена, а затем найдены ее кубичные вершины. После этого мы фиксировали калибровочные преобразования и ввели в нашу теорию связи. При помощи действия оператора на уравнения движения мы доказали существование наложенной нами связи, а затем при помощи другого оператора и установления пропорциональности между сверткой ковариантной производной с полем и степенью напряженности внешнего электромагнитного поля, мы доказали причинность нашего лагранжиана.
В результате было показано, что по-крайней мере в линейном включении электромагнитное взаимодействие можно построить. Для массивных полей со спином 2 оно существует в плоском пространстве. Для безмассовых полей возможно построить только неминимальные кубичные вершины при одновременном устремлении к нулю электрического заряда и массы, то есть возможен только предельный случай. Чтобы построить общий случай, необходимо рассматривать теорию в пространстве постоянно кривизны анти-де Ситтера. Построение электромагнитного взаимодействия в пространстве анти- де Ситтера является открытой проблемой.
Полученный в этой работе результат может быть использован для дальнейшего решения открытых проблем построения взаимодействия полей высших спинов. Приведем некоторые из них: построение электромагнитного взаимодействия полей высших спинов в пространстве анти-де Ситтера как с внешним, так и с динамическим полем; построение электромагнитного взаимодействия с фермионными полями высших спинов как в плоском пространстве, так и в пространстве анти-де Ситтера; построение вершин электромагнитного взаимодействия для полей высших спинов за пределами линейного приближения.
В первой главе мы рассмотрели теорию свободных полей и дали калибровочноинвариантную формулировку для полей произвольного целого спина. Вначале мы рассмотрели случай безмассовых полей, для которых калибровочно-инвариантное описание является единственной возможность работать в явно лоренц-ковариантном виде. Такое описание дано последовательно для полей со спином 0, 1, 2 и обобщено для произвольного целого спина s. Затем была дана калибровочно-инвариантная формулировка массивных полей высших спинов, которая реализуется как система безмассовых полей, связанных штюкельберговскими симметриями. Данное построение начинается с суммы лагранжианов для безмассовых полей (кинетические члены) и соответствующих калибровочных преобразований. Затем добавляются перекрестные и массовые члены к лагранжиану и калибровочных преобразованиям. Полный вид лагранжиана фиксируется из условия калибровочной инвариантности модифицированного лагранжиана относительно модицифированных калибровочных преобразований. Такая схема подробно рассмотрена для спинов 0, 1, 2 и обобщена на случай произвольного целого спина. Все построенные лагранжианы имеют правильный безмассовый предел, в том смысле, что не происходить скачка физических степеней свободы.
Во второй главе была построено электромагнитное взаимодействия полей высших спинов. Для полей со спином 0 и 1 включение электромагнитного взаимодействия осуществляется стандартным образом, заменой обычных производных на ковариантные. Такое взаимодействие называется минимальным. Проблема включения минимального взаимодействия возникается уже на примере спина 2, характерна, в общем случае, для всех высших спинов. Решение данной проблемы - это построение неминимального взаимодействия. В дальнейшем построение такого взаимодействия показано на примере спина 2. Для удобства лагранжиан и калибровочные преобразования были разбиты на части естественные для свободной теории (основные) и линейные по напряженности электромагнитного поля (первые поправки), также мы приняли, что будет рассматривать члены только линейные по F,n,, пренебрегая квадратичными членами. Затем мы нашли кубичные вершины взаимодействия заряженного безмассового поля спина 2 с внешним электромагнитным полем. Для этого нами были введены поправки к лагранжиану (15) и калибровочным преобразованиям (16) в наиболее общем виде. Затем из условия калибровочной инвариатности нашего полного лагранжиана мы получили, что все введенные в (15) произвольные коэффициенты выражаются через параметр калибровочных преобразований 73 - (17). Тем самым мы получили однопараметрические семейства лагранжианов и калибровочных преобразований.
Затем мы рассматривали заряженное массивное поле спина 2 в внешнем постоянном электромагнитным поле. Для начала мы рассмотрели свободную теорию, все выражения для которой были найдены нами в первой главе. Затем нами при помощи ковариантных производных вида (19) было введено минимальное взаимодействие, которое нарушило калибровочную инвариантность теории. Поэтому нами было введено дополнительное неминимальное взаимодействие и вместе с ним новые поправки к лагранжиану (22), (25) и к калибровочным преобразованиям (21), (24). Калибровочная инвариатность была восстановлена, а затем найдены ее кубичные вершины. После этого мы фиксировали калибровочные преобразования и ввели в нашу теорию связи. При помощи действия оператора на уравнения движения мы доказали существование наложенной нами связи, а затем при помощи другого оператора и установления пропорциональности между сверткой ковариантной производной с полем и степенью напряженности внешнего электромагнитного поля, мы доказали причинность нашего лагранжиана.
В результате было показано, что по-крайней мере в линейном включении электромагнитное взаимодействие можно построить. Для массивных полей со спином 2 оно существует в плоском пространстве. Для безмассовых полей возможно построить только неминимальные кубичные вершины при одновременном устремлении к нулю электрического заряда и массы, то есть возможен только предельный случай. Чтобы построить общий случай, необходимо рассматривать теорию в пространстве постоянно кривизны анти-де Ситтера. Построение электромагнитного взаимодействия в пространстве анти- де Ситтера является открытой проблемой.
Полученный в этой работе результат может быть использован для дальнейшего решения открытых проблем построения взаимодействия полей высших спинов. Приведем некоторые из них: построение электромагнитного взаимодействия полей высших спинов в пространстве анти-де Ситтера как с внешним, так и с динамическим полем; построение электромагнитного взаимодействия с фермионными полями высших спинов как в плоском пространстве, так и в пространстве анти-де Ситтера; построение вершин электромагнитного взаимодействия для полей высших спинов за пределами линейного приближения.
