Введение 2
§1. Общие факты 3
§2. Определяемость колец Z/nZ группой U(Z/nZ) при п< 150 8
Разложения групп U(Z/nZ) для п от 1 до 200 15
Заключение 20
Список литературы 21
Все чаще кольца эндоморфизмов и их группы обратимых элементов становятся объектом исследования в теории абелевых групп. Особое место в теории о кольцах эндоморфизмов занимает теорема Бэра - Капланского. Эта теорема утверждает, что любые две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны. Она положила начало тенденции изучения абелевых групп совместно с их группами и кольцами эндоморфизмов. Теоремы такого типа называют теоремами изоморфизма. В них говорится, что две группы из данного класса изоморфны, если их кольца эндоморфизмов изоморфны. Взамен колец эндоморфизмов в таких теоремах могут фигурировать группы эндоморфизмов, автоморфизмов и другие алгебраические структуры.
Рассматриваются основные закономерности, позволяющие решать вопрос о том, при каких условиях кольцо вычетов по модулю п однозначно находится по своей группе обратимых элементов, или, что то же самое, при каких условиях конечная циклическая группа находится по своей группе автоморфизмов.
В работе получен ответ на вопрос, при каких п < 150 кольцо Z/nZ определяется своей группой обратимых элементов U(Z/nZ) . Доказана теорема о том, что если число вида 2W-2 + 1, где w > 2, является составным, то кольцо Z/2WZ определяется своей группой обратимых элементов U(Z/ 2WZ). Построена таблица разложений групп U(Z/nZ), в которой отмечены такие п, при которых кольцо Z/nZ однозначно определяется своей группой обратимых элементов U (Z/nZ").
