В последние десятилетия весьма заметное распространение получили системы проектирования различных устройств, использующие метод конечных элементов (МКЭ). В основе метода - разбиение исследуемого объекта (тело либо поверхность) некоторой сетью и аппроксимация аналитических соотношений, связывающих параметры объекта, конечными соотношениями. Например, системы дифференциальных уравнений моделируются конечно-разностными уравнениями. На рынке присутствуют различные системы проектирования, основанные на МКЭ (например, ANSYS). Эти системы представлены программными комплексами с закрытым кодом, и в известном смысле ведут себя как «черные ящики».
Данное обстоятельство обусловило обращение исследователей к разработке собственных систем МКЭ-моделирования, изначально лишенных качеств «чёрного ящика». Примером подобных разработок являются публикации [3,4,5,6]. В основе проектирования тентовых конструкций лежит принцип минимизации площади поверхности. В [3] предложено (вместо минимизации площади непосредственно) минимизировать её опосредованно, минимизируя сумму квадратов длин отрезков сети (это называется «метод натянутых сеток» (МНС)).
На этом пути удается решать вполне определенные задачи. В частности, в [3] и [4] получены аппроксимации сетями куска катеноида (рис. 1) и геликоида (рис. 2).
Существует программный продукт FABRIC CAD, предназначенный для отыскания формы тентовых тканевых конструкций, близких к
поверхностям минимальной площади с последующим построением карт раскроя полотнища. Представление о данном продукте дает, например, публикация [5]. Приведем некоторые иллюстрации из этой статьи.
Существенную роль в реализации МНС играет понятие регулярности сети, которое в [4] разъяснено следующим образом: «Исходной посылкой при формулировке МНС подхода является утверждение о том, что
наиболее достоверные и точные результаты в любом численном методе могут быть получены при использовании сети, составленной из регулярных ячеек, то есть ячеек произвольной формы, у которых длины всех ребер равны между собой. При использовании численных методов для анализа конструкций сложной формы получить строго регулярную сеть невозможно, поэтому при корректировке необходимо сформировать новую сеть таким образом, чтобы все ячейки имели форму, максимально приближенную к регулярной. Такую сеть в дальнейшем будем называть псевдо-регулярной».
Следует отметить, что приведенное здесь употребление термина «регулярная сеть» нельзя назвать общепринятым. Так, в [1] предложено следующее толкование: «Регулярные сети - сети, которые в любом своем месте устроены одинаково».
В результате проделанной работы мы реализовали некоторые методы минимизации, познакомились с методом проектирования математической модели - методом натянутых сеток.
Вообще говоря, методов минимизации существует изрядное количество, все они имеют свои достоинства и недостатки. Иллюстрацией этого факта служит пример трёх рассмотренных алгоритмов. Метод прямой минимизации прост в реализации, однако охватывает узкий круг функций, в то время как метод покоординатного спуска работает с любой функцией, но на его реализацию уходит гораздо больше времени.
Также мы ближе узнали систему Maple. По моему субъективному мнению, она является удобным и достаточно функциональным инструментом для работы с графиками и символьными вычислениями. Однако, как и везде, имеются свои минусы, самый очевидный - низкая производительность вычислений, обусловленная тем, что реализация команд системы Maple совершается в режиме интерпретации.
