Введение 2
1. Описание баз в Ch(X~) и Cph(X) 5
2. Аксиомы отделимости в С^(Х~) 9
3. Аксиомы счетности в С^(Х) 15
4. Сравнение топологий пространств Ср(Х) и Ch(X) 16
Заключение 18
ЛИТЕРАТУРА 19
Множество С (Х) всех вещественных непрерывных функций на тихоновском пространстве X имеет ряд естественных топологий. Две естественные и наиболее изучаемые топологии на С(Х) - это открыто-точечная топология р (она же - топология поточечной сходимости) и компактно-открытая топология к. Пространство С(Х), наделенное топологией т, будем обозначать через СТ(Х). В частности, пространство С(Х) снабженное точечно-открытой топологией р (соответственно, компактно-открытой топологией к) обозначается через Ср (X)
(Соответственно, Ск(X)). Оба пространства Ср(Х) и Ск(Х) были широко изучены в литературе. Изучение поточечной сходимости последовательностей функций началось фактически с появлением анализа. Компактно-открытая топология были определена в 1945 году в статье Фокса [6], и вскоре после этого эта тема была развита в работах Аренса ([1]) и Аренса и Дугунджи ([2]). Эта топология, как показано в [9], соответствует последовательностям функций, которые сходятся
равномерно на компактах. С другой стороны топологические свойства пространства Ср(Х) можно найти в работах [3,10]. Идея топологизации пространства С(Х) возникла из понятия сходимости последовательностей функций.
В определении множественно-открытой топологии на С(Х) просто используется некоторое семейство подмножеств Х и открытые подмножества из R. Иногда предпринимались попытки, такие как в [7], чтобы определить новый тип множественно-открытой топологии на С(Х). Но даже эти попытки не смогли на много продвинуться дальше от традиционных способов определения множественно-открытых топологий на С(Х). В статье [9] был предпринят принципиально иной подход определения двух новых топологий на С(Х). Одной из главных причин такого подхода является желание сделать так, чтобы X и R играли равнозначные роли в построении топологий на С(Х). По этой причине нас особенно интересует открыто-множественная топология на С(Х), и комбинация множественно-открытой и открыто-множественной топологий на С(Х).
Пространство С(Х) с точечно-открытой топологией традиционно будем обозначать через Ср(Х). Оно имеет предбазу, состоящую из всех множеств вида
[х,К]+ = {/еС(Х):/(х)еК}, где хЕХ и V - открытое подмножество в R.
В статье [9] вводится две новые топологии на С(Х), которые называются открыто-точечная топология и би-точечно-открытая топология. Открыто-точечная топология на С(Х) имеет предбазу, состоящую из всевозможных множеств вида
[и,г]- = {/ е С(Х):/-1(г) п и Ф 0} где U открытое подмножество Х и г Е R.
Эта топология на С(Х) обозначается через h и тогда пространство С(Х), снабженное такой топологией, будет обозначаться через СЙ(Х). Значок "h" происходит от слова "горизонтальный", так как предбазисное открытое множество в С^(Х) можно рассматривать как совокупность функций в С(Х), графики которых проходят через какой-то заданный горизонтальный открытый сегмент в Х X R, в отличие от предбазисного открытого множества Ср(Х), которое состоит из множества функций в С(Х), графики которых проходят через какой-то заданный вертикальный открытый сегмент в Х X R.
Би-точечно-открытая топология на С(Х) является объединением точечно-открытой топологии р и открыто-точечной топологии h. Другими словами, это топология, имеющая предбазисные открытые множества обоих видов [х, V]+ и [U, г]~, где х Е X и V - открытое подмножество R, в то время как U - открытое подмножество X и г Е R. Би-точечно-открытая топология на пространстве C(X) обозначается через ph и пространство C(X), наделенное би-точечно-открытой топологией ph обозначается Cph(X~). Можно также рассматривать би-точечно-открытую топологию на C(X) как слабую топологию на C(X), порожденную тождественными отображениями id1: C(X) ^ Cp(X) и id2: C(X) ^ Ch(X). Свойства пространств Ch(X) и Cph(X) довольно сильно отличаются от свойств обычных топологий на C(X). Например, если X - тихоновское пространство, то пространства Cp(X) и Ck(X) всегда тихоновские, но пространство Ch(X), может даже не быть хаусдорфововым. Таким образом, для изучения пространств Ch(X) и Cph(X), обычные методы, которые используются для изучения стандартных топологий на C(X) не всегда являются применимыми и приходится разрабатывать новые методы для изучения этих пространств. В первом разделе приводятся описания баз для пространств Ch(X) и Cph(X), которые помогут установить различные свойства этих пространств. Раздел 2 посвящен изучению аксиом отделимости, которым могут удовлетворять пространства Ch(X) и Cph(X). В этом разделе будет показано, что пространство Ch(X) хаусдорфово тогда и только тогда, когда множество изолированных точек плотно в X. Мы также покажем, что пространства Ch(X) и Cph(X) вполне регулярны тогда и только тогда, когда они являются топологическими группами и тогда и только тогда, когда множество изолированных точек в X является Gs плотным в X. В разделе 3 изучается вопрос, когда пространство Ch(X) обладает первой аксиомой счетности. В последнем разделе мы сравниваем топологию поточечной сходимости и открыто-точечную топологию на C(X).
В данной работе мы используем следующие условные обозначения. Все пространства предполагаются как минимум, вполне регулярными и хаусдорфовыми, то есть, тихоновскими. Символы Р, Р, Q, Z и N обозначают пространство действительных чисел, иррациональных чисел, рациональных чисел, целых и натуральных чисел, соответственно. Для пространства X символ X0 обозначает множество всех изолированных точек в X, А обозначает замыкание множества А в X и 0х обозначает постоянную нулевую функцию в C(X). Другие основные топологические понятия можно посмотреть в [5].
В этой работе была изучена открыто-точечная (rh) и би-точечно-открытая (тр/1) топология на пространстве C(X) непрерывных вещественнозначных функций, заданных на тихоновском пространстве X. Эта топология была введена в статье «The open-point and bi-point-open topology on C(X)» (авторы Anubha Jindal, R.A. McCoy, S. Kundu), вышедшей в 2015 году в журнале «Topology and its Applications». Нами были разобраны
1. теоремы из этой статьи, описывающие базы топологий тк и трК;
2. необходимые и достаточные условия для того, чтобы пространство C(X) с топологией т1г было хаусдорфовым, регулярным и тихоновским;
3. достаточные условия того, чтобы пространство C(X) с топологией т1г обладало первой аксиомой счетности.
Кроме того, мы изучили связь между топологией поточечной сходимости тр и открыто-точечной топологией т1г. Было установлено, что если X - дискретное пространство, то топология тк на C(X) сильнее топологии тр и что никогда топология тр не может быть сильнее топологии тк. Кроме того, было установлено, что если X не имеет изолированных точек, то две эти топологии несравнимы.
