СТАЦИОНАРНЫЕ МНОЖЕСТВА И АКСИОМА ЙЕНСЕНА
|
Список обозначений
Введение
Континуум гипотеза
Аксиома Йенсена 15
Аксиома Мартина 27
Взаимосвязь между CH, MA и аксиомой Йенсена 32
Заключение 34
Литература 35
Введение
Континуум гипотеза
Аксиома Йенсена 15
Аксиома Мартина 27
Взаимосвязь между CH, MA и аксиомой Йенсена 32
Заключение 34
Литература 35
Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.
Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».
Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрии, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим
ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.
Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Г ауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.
Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.
Современная теория множеств строится на системе аксиом, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной для теории множеств. К ней часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC = Zermelo-Fraenkel choice) . Существуют и другие системы аксиом. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Godel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов.
Аксиомы ZFC
1. Аксиома объёмности. Два множества а и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.
VaVb(a = b <-> Ус(с £ а н с е Ь)
2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается { } или 0.
ЭеУа(а £ е)
3. Аксиома пары. Для любых множеств а и b существует множество c такое, что а и b являются его единственными элементами. Множество с обозначается { а, b} и называется неупорядоченной парой а и b. Если а = b, то состоит из одного элемента.
VaVb3cVd((i Ec^->(d = aVd = b))
4. Аксиома объединения. Для любого семейства а множеств существует
множество , называемое объединением множества , состоящее из тех
и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества .
Va3bVc(c е b <-» 3d(d Е а /с Е d-У)
5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве подмножеств а имеется элемент, не принадлежащий а, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела).
Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент a U { а}) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.
3w(0 е w л у%(% е w -> х и {%} е w))
6. Схема выделения. Любому множеству а и свойству р отвечает множество Ь, элементами которого являются те и только те элементы а, которые обладают свойством р.
У а 3 ЬУс ( с е Ь — (с е а Л р ( с) ))
7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества а существует множество Ь, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества а. Множество подмножеств множества а обозначается Р( а ) .
УпЗЬУс(с £ b <-> Vd(d е с -> d £ а))
Если ввести отношение подмножества <= , то эту формулу можно упростить.
УаЗЬУс(с £ b <-> с с а)
8. Схема подстановки. Пусть р (х,у) - такая формула, что при любом х0
из множества X существует, и притом единственный, объект у0такой, что выражение р (х0, у0) истинно. Тогда объекты с, для каждого из которых существует d из X такой, что р ( d, с) истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.
Ух 3 ! у ( р (х, у) ) — У а 3 Ь У с ( с е Ь —- ( 3 d( d е а Лр (d, с) ))
9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент а такой, что s П а = 0.
Vs(s А 0 -> За(а Е s Л а П s = 0))
10. Аксиома выбора. Для каждого семейства А непустых непересекающихся множеств существует множество В , имеющее один и только один общий элемент с каждым их множеств X, принадлежащих А.
В данной работе рассматриваются аксиомы не входящие в систему ZFC и непротиворечащие ей.
Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».
Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы российского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрии, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим
ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.
Сперва идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Г ауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10-12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.
Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.
Современная теория множеств строится на системе аксиом, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной для теории множеств. К ней часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC = Zermelo-Fraenkel choice) . Существуют и другие системы аксиом. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Godel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов.
Аксиомы ZFC
1. Аксиома объёмности. Два множества а и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.
VaVb(a = b <-> Ус(с £ а н с е Ь)
2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается { } или 0.
ЭеУа(а £ е)
3. Аксиома пары. Для любых множеств а и b существует множество c такое, что а и b являются его единственными элементами. Множество с обозначается { а, b} и называется неупорядоченной парой а и b. Если а = b, то состоит из одного элемента.
VaVb3cVd((i Ec^->(d = aVd = b))
4. Аксиома объединения. Для любого семейства а множеств существует
множество , называемое объединением множества , состоящее из тех
и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества .
Va3bVc(c е b <-» 3d(d Е а /с Е d-У)
5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве подмножеств а имеется элемент, не принадлежащий а, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела).
Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент a U { а}) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.
3w(0 е w л у%(% е w -> х и {%} е w))
6. Схема выделения. Любому множеству а и свойству р отвечает множество Ь, элементами которого являются те и только те элементы а, которые обладают свойством р.
У а 3 ЬУс ( с е Ь — (с е а Л р ( с) ))
7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества а существует множество Ь, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества а. Множество подмножеств множества а обозначается Р( а ) .
УпЗЬУс(с £ b <-> Vd(d е с -> d £ а))
Если ввести отношение подмножества <= , то эту формулу можно упростить.
УаЗЬУс(с £ b <-> с с а)
8. Схема подстановки. Пусть р (х,у) - такая формула, что при любом х0
из множества X существует, и притом единственный, объект у0такой, что выражение р (х0, у0) истинно. Тогда объекты с, для каждого из которых существует d из X такой, что р ( d, с) истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула порождает аксиому.
Ух 3 ! у ( р (х, у) ) — У а 3 Ь У с ( с е Ь —- ( 3 d( d е а Лр (d, с) ))
9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент а такой, что s П а = 0.
Vs(s А 0 -> За(а Е s Л а П s = 0))
10. Аксиома выбора. Для каждого семейства А непустых непересекающихся множеств существует множество В , имеющее один и только один общий элемент с каждым их множеств X, принадлежащих А.
В данной работе рассматриваются аксиомы не входящие в систему ZFC и непротиворечащие ей.
В данной работе рассмотрены некоторые аксиомы, которые не фходят в систему аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), а именно:
1. CH - континуум гипотеза
2. МА - аксиома мартина
3. < - аксиома Йенсена.
В первом параграфе сформулирована Гипотеза Континуума и приведено доказательство того, что в предположении CH существует несчетное подмножество X прямой Зоргенфрея, такое что X2 является линделёфовым.
Во втором параграфе приведены свойства стационарных множеств, сформулирована аксиома Йенсена и приведено доказательство того, что Аксиома Йенсена влечет существование дерева Суслина.
В третьем параграфе сформулирована аксиома Мартина и приведено доказательство того, что при выполненной аксиоме Мартина, в пространстве со второй аксиомой счетности любое подмножество э то Q - множество и 2 к = с для любого бесконечного к < с.
В четвертом параграфе установлена следующая связь между аксиомами: < > СЯ > МД.
1. CH - континуум гипотеза
2. МА - аксиома мартина
3. < - аксиома Йенсена.
В первом параграфе сформулирована Гипотеза Континуума и приведено доказательство того, что в предположении CH существует несчетное подмножество X прямой Зоргенфрея, такое что X2 является линделёфовым.
Во втором параграфе приведены свойства стационарных множеств, сформулирована аксиома Йенсена и приведено доказательство того, что Аксиома Йенсена влечет существование дерева Суслина.
В третьем параграфе сформулирована аксиома Мартина и приведено доказательство того, что при выполненной аксиоме Мартина, в пространстве со второй аксиомой счетности любое подмножество э то Q - множество и 2 к = с для любого бесконечного к < с.
В четвертом параграфе установлена следующая связь между аксиомами: < > СЯ > МД.
