Введение 3
1. Необходимые определения 4
2. Классические банаховы пространства и их изоморфность
своему квадрату 7
3. Пример Каибханова 11
Заключение 17
Литература 18
Два факта - то, что пространства Wn и Сп не изоморфны своему квадрату и то, что такие классические бесконечномерные линейные нормированные пространства, как с00, с0, с, 1р, 1т напротив, изоморфны своим квадратам, устанавливаются довольно просто.
То, что никакое конечномерное линейное нормированное пространство не изоморфно своему квадрату доказывается несколько сложнее. Также нетривиален тот факт, что пространство С [а, Ь] всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке [а, Ь] с R, изоморфно своему квадрату (это результат С. Банаха).
Таким образом, с конечномерными пространствами ситуация ясна, а вот поиски бесконечномерного банахова пространства, неизоморфного своему квадрату (или доказательство того, что любое такое пространство изоморфно своему квадрату) затянулись вплоть до 60-х годов XX века.
Первые примеры бесконечномерных банаховых пространств, не изоморфных своим декартовым квадратам, были приведены Ч. Бессагой, А. Пелчинским [1] и З.Семадени [2] в 1960 г. Пример рефлексивного Банахова пространства с таким свойством был построен Т. Фигелем [3] в 1977 г. Как показал Шарек [4] в 1986 г. существует вещественное банахово пространство, не изоморфное декартову квадрату никакого банахова пространства. Также отметим, что существует бесконечномерное линейное нормированное пространство, которое нельзя непрерывно отобразить на свой квадрат.
В 1995 г. вышла статья К.Э. Каибханова [9], в которой строятся рефлексивные банаховы пространства X и Y, такие что X2 * X,Y2 * Y, но ХфТ~(ХфТ)2.
В этой работе приводится подробное доказательство того, что никакое конечномерное линейное нормированное пространство не изоморфно своему квадрату. Также подробно строятся изоморфизмы пространств с00, с0, с, 1р, 1т и С [а, Ь] на свои квадраты. Далее разбирается пример Каибханова.
В этой работе был изучен вопрос линейной гомеоморфности (изоморфности) линейного нормированного пространства своему квадрату. Было показано, что никакое конечномерное линейное нормированное пространство не изоморфно своему квадрату, в то время как классические бесконечномерные пространства, такие как с00, с0, с, 1р, 1т,С[а, Ь], своим квадратам изоморфны.
Кроме того, был разобран пример Каибханова двух рефлексивных банаховых пространств X и Y, которые не изоморфны своим декартовым квадратам, но обладающие дополнительным свойством, что XxY изоморфно своему декартову квадрату.
