В настоящее время наиболее удобным и общеприменимым инструментом изучения калибровочных теорий является БРСТ-комплекс. Центральным объектом данного комплекса является нильпотентный оператор Q,так же о нем говорят, как о нечетном векторном поле и употребляют выражение гомологическое векторное поле. По сути Q несет в себе всю информацию о системе: уравнения движения, симметрии, законы сохранения и т.д. Полное и последовательное изложение БРСТ-формализма, а также его применения для квантования конкретных моделей можно найти, например, в книге [1]. Применение БРСТ-комплекса стало настолько удобным, что оператор Q часто включают в определение калибровочной системы, что позволяет изучать различные системы даже без явного задания лагранжиана [2].
Отметим также, что изложение будет вестись в рамках БВ-формализма [3], т.е. мы будем придерживаться описания системы через явное задание лагранжиана в расширенном конфигурационном пространстве.
В данной работе мы остановились на изучении калибровочных симметрий на примерах электродинамики и линеаризованной гравитации. Отправными объектами для исследования моделей являются лагранжиан и симплектическая 2-форма, построенная на полях-антиполях в расширенном конфигурационном пространстве. Работая в расширенном конфигурационном пространстве, в рамках заданных моделей, возникают различные глобальные симметрии, связанные с преобразованием, так называемых, полей гостов (в русскоязычной литературе можно встретить их, как духи). Тогда по первой теореме Нетер для каждой такой симметрии можно написать свой сохраняющийся ток J. Оказывается, что данные токи не образуют правильную алгебру, которая бы отражала суть модели (например, для гравитации такая алгебра - это алгебра Пуанкаре). Исследование данной проблемы и излагается в данной работе.
Во второй секции мы введем понятия БРСТ-дифференциала и производных скобок, которые составляют основу для построения правильной алгебры Ли токов.
В третьей части мы рассмотрим первый из двух примеров - электродинамику. Подробно разберем нахождение кубической вершины для лагранжиана, а так же последовательно явно определим все потомки для токов и симплектической структуры. Далее с помощью симметрии самого гомологического векторного поля определим скобки, которые будут давать правильную скобку для калибровочно инвариантных токов.
В секции под номером четыре мы менее подробно рассмотрим вопрос о построении производных скобок для модели линеаризованной гравитации.
В пятой части мы покажем, что данный способ построения скобок Пуассона не совсем
универсальный. На некалибровочно инвариантных токах скобки Пуассона, вообще говоря, не являются скобками Пуассона, т.к. не выполняется свойство антисимметричности. В качестве примеров мы приведем сохраняющийся ток, связанный с вращением в модели электродинамики и тензор энергии-импульса в модели гравитации.
В заключительной секции мы проиллюстрируем наблюдаемые токи (с нулевым духовым числом) в модели линеаризованной гравитации на примере Вселенной Керра. Будут также получены явные выражения для импульса и углового момента.
Было показано, что в нелинейных калибровочных теориях существует простой способ определения алгебр высших симметрий и законов сохранения посредством производных скобок, например, (18) и (20), которые характеризуют выбранную модель. Данный способ в рамках БВ-формализма явно использует разложение лагранжиана по степеням полей в расширенном конфигурационном пространстве полей-антиполей, контролируемое мастер- уравнением (S, S) = 0. Показано, что в случае полей Янга-Миллса скобки поверхностных токов воспроизводят коммутационные соотношения калибровочной алгебры Ли, а в случае асимптотически плоской гравитации - коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре.
Стоит отметить, что данный способ определения алгебры не является универсальным и подходит только для калибровочно инвариантных сохраняющихся токов. Для некалибровочно инвариантных токов скобки Пуассона (20) перестают быть скобками Пуассона, так как теряют свойство антисимметричности. В рассмотренных примерах такое нарушение наблюдалось для токов с ненулевым духовым числом. Хоть свойство антисимметричности и нарушается, но тождество Якоби с точностью до гомотопии все равно выполняется. В таком случае обычно говорят об алгебре Лоди-Лейбница, которая может пониматься, как «некоммутативный» аналог алгебры Ли. В дальнейшем планируется продолжить изучение структуры алгебры Лодди-Лейбница на калибровочно неинвариантных токах.
