ОДНОПЕТЛЕВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В ШЕСТИМЕРНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ AM 1,0) АБЕЛЕВОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
|
Введение 3
1 Гармоническое суперпространство 8
1.1 Общая схема построения суперпространств, форма Картава 8
1.2 Гармоническое суперпространство 10
1.3 Гармонические переменные 13
2 Шестимерпое JV = (1,0) гармоническое суперпространство ... 14
2.1 Спинорная алгебра 14
2.2 Шестимерное X = (1,0) суперпространство 15
3 = (1,0) калибровочная теория в шестимерпом суперпространстве 18
4 Структура расходимостей 21
4.1 Вычисление диаграммы, не содержащей внешних линий
гипермультип лета 25
4.2 Вычисление диаграммы, содержащей две внешних линии гииермулвтиилета 32
5 Заключение 37
Литература 38
1 Гармоническое суперпространство 8
1.1 Общая схема построения суперпространств, форма Картава 8
1.2 Гармоническое суперпространство 10
1.3 Гармонические переменные 13
2 Шестимерпое JV = (1,0) гармоническое суперпространство ... 14
2.1 Спинорная алгебра 14
2.2 Шестимерное X = (1,0) суперпространство 15
3 = (1,0) калибровочная теория в шестимерпом суперпространстве 18
4 Структура расходимостей 21
4.1 Вычисление диаграммы, не содержащей внешних линий
гипермультип лета 25
4.2 Вычисление диаграммы, содержащей две внешних линии гииермулвтиилета 32
5 Заключение 37
Литература 38
Современное развитие теории струп приводит к так называемой М- теории [1], которая, в принципе, должна объединять различные известные струпные модели. В настоящее время пет последовательной однозначной формулировки этой теории, но известно, что в низкоэнергетическом пределе она описывается одиннадцатимерной супергравитацией [2]. Одиннадцатимерная супергравитация допускает два вида решений Богомольного Прасада Зоммерфельда [2], сохраняющих половину суперсимметрий теории, а именно, М2 и М5 браиы. Поэтому, М-теорию можно понимать как модель, описывающую динамику взаимодействующих М2 и М5 брал. Построение такой теории является открытой актуальной задачей современной теоретической физики высоких энергий.
Низкоэпергетическая теория М5-брап может быть описана па основе шестимерной конформной теории ноля с JV—(2,0) суперсимметрией [3]. Построение шестимерных А7 = (2,0) суперсимметричных моделей может быть реализовано па основе А7 = (1,0) суперсимметричных пеабелевых тен-зор/векторных моделей, взаимодействующих с суперконформными гипет- мультиплетами [4]. Гииермультиилеты описываются калибровочными нелинейными сигма-моделями с гиперкэлеровым конусом и минимальным взаимодействием с суперконформиыми тензор/векторными моделями [5, 6, 7, 8].
Шестимерные суперимметричиые неабелевы калибровочные теории с расширенной суперсимметрией представляют значительный интерес (см., на-пример, [9, 10, 11, 12, 13]). Такие модели рассматриваются в контексте дуального описания взаимодействующих М5-браи [14, 15] и могут быть связаны с геометрий AdSy в близи горизонта. Критическим ингредиентом этой конструкции является неабелев тензорный мультиплет [16, 17, 18, 19, 20]. Полевое описание такого мультиплета может быть найдено [21, 22, 23] в рамках М = (1,0) тензорной иерархии [24, 25, 26, 27], которая, помимо калибровочного поля Янга-Миллса и два-форм калибровочных потенциалов тензорного мультиплета, содержит не распространяющиеся три- и четыре-формы калибровочных потенциалов. На этом пути еще остается множество открытых вопросов таких как динамическое описание на классическом уровне или же вопросы связанные с квантованием этих моделей и сохранение конформной и калибровочных симметрий на квантовом уровне. Наиболее элегантной ме¬тодикой изучения этих открытых вопросов является техника гармони веского суперпространства [30], которая была обобщена па случай шести измерений в работах [31, 32, 33].
Супериолевая формулировка тензорной иерархии изучалась в работе [29], в которой представлен набор связей на напряженности супер-(р + 1)- формы пеабелевых супер-р-форм потенциалов в шестимерпом А7 = (1,0) суперпространстве. Эти связи ограничивают полевой состав супер -р-форм па ноля неабелевой тензорной иерархии. Супериолевая формулировка тензорной иерархии проливает свет на суперсимметричную структурных теории и может служить основой для различных обобщений. Они могут быть полезны для поисков супериолевого действия и для изучения А7 = (2,0) суперконформной теории суперолевыми методами [5, 6, 7, 8]. Однако до настоящего времени супериолевая лагранжева формулировка описанной теории не построена.
Связь шестимерных суперсимметричных моделей с низкоэнергетической динамикой М5 брак является общей мотивацией к изучению данных теорий. Стоит отметить, что существование нетривиальной суперсимметричной квантовой теории ноля в высших измерениях уже важно само по себе. Поэтому задача исследование различных шестимерных калибровочных моделей с простой А7 = (1,0), а также расширенной А7 = (1,1) суперсимметрией находится в приоритете. Наибольший интерес представляют шестимерные Л7 = (1,0)иЛГ= (1,1) суперсимметричные модели Япга-Миллса. Более того, исследование различных аспектов шестимерных А7 = (1,0) иА(= (1,1) суперсимметричных калибровочных теорий поможет глубже взглянуть на проблему тензорной иерархии. Заметим, что исследование суперсимметричной модели Япга-Милсса в шестимерном пространстве-времени требует развития методов вычисления эффективного действия, при этом суперсимметрия должна прослеживается явно па всех этапах вычисления.
Анализ ультрафиолетовых расходимостей в многомерных суперсимметричных калибровочных теориях подробно проводился в ряде работ [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46]. В частности, было обнаружено, что в секторе калибровочного мультиплета расходимости в разных петлях имеют универсальную структуру и во многих случаях некоторые контрчлены можно полностью исключить путем переопределения нолей. Контрчлены в гипермультиилетном секторе практически не рассматривались. В представленной выпускной квалификационной работе представлен полный анализ однопетлевых ультра-фиолетовых расходимостей в шестимерной абелевой калибровочной теории Я= (1,0), взаимодействующей с гипермультиилетом.
Как известно, наиболее эффективный способ описания квантовых аспектов суперсимметричных теорий является использование супериолевых формулировок вне массовой оболочки (см., например, [47] для четырехмерных АГ = 1 теорий и [30] для четырехмерных А7 — 2 теорий). Произвольное (п, ш) представление шестимерной суперсимметрии обозначается числами левых (п) и правых (ш) независимых суперсимметрий (см., например, [48]). В случае суперсимметрии в шестимерпом пространстве^ = (1,0) модели векторного мультиплета и гипермультиилета могут быть сформулированы вне массовой оболочки в терминах супериолей, определенных на шестимерпом, А7 = (1,0) гармоническом суперпространстве [33], [31]. Это позволяет сформулировать произвольную шестимерную А/” = (1,0) суперсимметричную теорию Япга- Миллса в шестимерпом, А/” = (1,0) суперпространстве как теорию взаимо-действующих неограниченных супериолей вне массовой оболочки, А/” = (1,0) векторного мультиплета и гипермультиилета. Используя соответствующий набор А/” = (1,0) гармонических супериолей, можно построить А/” = (1,1) суперсимметричную теорию Янга-Миллса, а также теорию свободных калибровочных моделей с А/” = (2,0) суперсимметрией [43]. Стоит отметить, что во многих аспектах шестимерная теория А/”—(1,0) Супер-Янг-Миллса аналогична четырехмерной теории А/”— 2 и шестимерной теории А/” = (1,1) , четырех-мерной теории А/—4 . Эти шестимерные теории и их четырехмерные копии имеют равное количество суперзарядов, 8 и 16, соответственно. Подобно четырехмерию, теория N — 4 обладает явной N — 2 суперсимметрией и скрытой N — 2 суперсимметрией. Шестимериая А/” = (1,1) теория Суиер-Яиг-Миллса обладает явной А/” = (1,0) суперсимметрией и скрытой А/” = (0,1) суперсимметрией (подробности см. В [45]).
Общий анализ возможных низкоэнергетических вкладов различных конформных размерностей в эффективное действие теории А/” = (1,0) SYM был проведен в [45]. Было доказано, что супериолевые контрчлены размерности 6 в Аб = (1,0) гармоническом суперпространстве это линейная комбинация трех супериолевых структур, среди которых одна зависит только от супериоля векторного мультиплета, вторая - только от супериоля гипермультиилета, и третья - смешанная часть, зависит от и от супеиролей векторного гипермультиилета и гипермультиилета. Анализ основывается па формулировке А/” = (1,0) гармонического суперпространства и свойствах преобразования супериолей. Принимая во внимание результат, полученный в [45], чрезвычайно интересно продемонстрировать, как эти результаты можно ио- лучить из общих принципов теории поля. Эта проблема была решена для Af = (1,0) для абелевой калибровочной теории в работе [50] с использованием метода фонового поля.
В данной работе проводятся вычисления вкладов в расходящуюся часть однопетлевого эффективного действия с использованием супериолевой диаграммной техники. Результаты вычислений, полученные данным методом, совпадают с результатами, найденными в [50] другим методом.
Низкоэпергетическая теория М5-брап может быть описана па основе шестимерной конформной теории ноля с JV—(2,0) суперсимметрией [3]. Построение шестимерных А7 = (2,0) суперсимметричных моделей может быть реализовано па основе А7 = (1,0) суперсимметричных пеабелевых тен-зор/векторных моделей, взаимодействующих с суперконформными гипет- мультиплетами [4]. Гииермультиилеты описываются калибровочными нелинейными сигма-моделями с гиперкэлеровым конусом и минимальным взаимодействием с суперконформиыми тензор/векторными моделями [5, 6, 7, 8].
Шестимерные суперимметричиые неабелевы калибровочные теории с расширенной суперсимметрией представляют значительный интерес (см., на-пример, [9, 10, 11, 12, 13]). Такие модели рассматриваются в контексте дуального описания взаимодействующих М5-браи [14, 15] и могут быть связаны с геометрий AdSy в близи горизонта. Критическим ингредиентом этой конструкции является неабелев тензорный мультиплет [16, 17, 18, 19, 20]. Полевое описание такого мультиплета может быть найдено [21, 22, 23] в рамках М = (1,0) тензорной иерархии [24, 25, 26, 27], которая, помимо калибровочного поля Янга-Миллса и два-форм калибровочных потенциалов тензорного мультиплета, содержит не распространяющиеся три- и четыре-формы калибровочных потенциалов. На этом пути еще остается множество открытых вопросов таких как динамическое описание на классическом уровне или же вопросы связанные с квантованием этих моделей и сохранение конформной и калибровочных симметрий на квантовом уровне. Наиболее элегантной ме¬тодикой изучения этих открытых вопросов является техника гармони веского суперпространства [30], которая была обобщена па случай шести измерений в работах [31, 32, 33].
Супериолевая формулировка тензорной иерархии изучалась в работе [29], в которой представлен набор связей на напряженности супер-(р + 1)- формы пеабелевых супер-р-форм потенциалов в шестимерпом А7 = (1,0) суперпространстве. Эти связи ограничивают полевой состав супер -р-форм па ноля неабелевой тензорной иерархии. Супериолевая формулировка тензорной иерархии проливает свет на суперсимметричную структурных теории и может служить основой для различных обобщений. Они могут быть полезны для поисков супериолевого действия и для изучения А7 = (2,0) суперконформной теории суперолевыми методами [5, 6, 7, 8]. Однако до настоящего времени супериолевая лагранжева формулировка описанной теории не построена.
Связь шестимерных суперсимметричных моделей с низкоэнергетической динамикой М5 брак является общей мотивацией к изучению данных теорий. Стоит отметить, что существование нетривиальной суперсимметричной квантовой теории ноля в высших измерениях уже важно само по себе. Поэтому задача исследование различных шестимерных калибровочных моделей с простой А7 = (1,0), а также расширенной А7 = (1,1) суперсимметрией находится в приоритете. Наибольший интерес представляют шестимерные Л7 = (1,0)иЛГ= (1,1) суперсимметричные модели Япга-Миллса. Более того, исследование различных аспектов шестимерных А7 = (1,0) иА(= (1,1) суперсимметричных калибровочных теорий поможет глубже взглянуть на проблему тензорной иерархии. Заметим, что исследование суперсимметричной модели Япга-Милсса в шестимерном пространстве-времени требует развития методов вычисления эффективного действия, при этом суперсимметрия должна прослеживается явно па всех этапах вычисления.
Анализ ультрафиолетовых расходимостей в многомерных суперсимметричных калибровочных теориях подробно проводился в ряде работ [37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46]. В частности, было обнаружено, что в секторе калибровочного мультиплета расходимости в разных петлях имеют универсальную структуру и во многих случаях некоторые контрчлены можно полностью исключить путем переопределения нолей. Контрчлены в гипермультиилетном секторе практически не рассматривались. В представленной выпускной квалификационной работе представлен полный анализ однопетлевых ультра-фиолетовых расходимостей в шестимерной абелевой калибровочной теории Я= (1,0), взаимодействующей с гипермультиилетом.
Как известно, наиболее эффективный способ описания квантовых аспектов суперсимметричных теорий является использование супериолевых формулировок вне массовой оболочки (см., например, [47] для четырехмерных АГ = 1 теорий и [30] для четырехмерных А7 — 2 теорий). Произвольное (п, ш) представление шестимерной суперсимметрии обозначается числами левых (п) и правых (ш) независимых суперсимметрий (см., например, [48]). В случае суперсимметрии в шестимерпом пространстве^ = (1,0) модели векторного мультиплета и гипермультиилета могут быть сформулированы вне массовой оболочки в терминах супериолей, определенных на шестимерпом, А7 = (1,0) гармоническом суперпространстве [33], [31]. Это позволяет сформулировать произвольную шестимерную А/” = (1,0) суперсимметричную теорию Япга- Миллса в шестимерпом, А/” = (1,0) суперпространстве как теорию взаимо-действующих неограниченных супериолей вне массовой оболочки, А/” = (1,0) векторного мультиплета и гипермультиилета. Используя соответствующий набор А/” = (1,0) гармонических супериолей, можно построить А/” = (1,1) суперсимметричную теорию Янга-Миллса, а также теорию свободных калибровочных моделей с А/” = (2,0) суперсимметрией [43]. Стоит отметить, что во многих аспектах шестимерная теория А/”—(1,0) Супер-Янг-Миллса аналогична четырехмерной теории А/”— 2 и шестимерной теории А/” = (1,1) , четырех-мерной теории А/—4 . Эти шестимерные теории и их четырехмерные копии имеют равное количество суперзарядов, 8 и 16, соответственно. Подобно четырехмерию, теория N — 4 обладает явной N — 2 суперсимметрией и скрытой N — 2 суперсимметрией. Шестимериая А/” = (1,1) теория Суиер-Яиг-Миллса обладает явной А/” = (1,0) суперсимметрией и скрытой А/” = (0,1) суперсимметрией (подробности см. В [45]).
Общий анализ возможных низкоэнергетических вкладов различных конформных размерностей в эффективное действие теории А/” = (1,0) SYM был проведен в [45]. Было доказано, что супериолевые контрчлены размерности 6 в Аб = (1,0) гармоническом суперпространстве это линейная комбинация трех супериолевых структур, среди которых одна зависит только от супериоля векторного мультиплета, вторая - только от супериоля гипермультиилета, и третья - смешанная часть, зависит от и от супеиролей векторного гипермультиилета и гипермультиилета. Анализ основывается па формулировке А/” = (1,0) гармонического суперпространства и свойствах преобразования супериолей. Принимая во внимание результат, полученный в [45], чрезвычайно интересно продемонстрировать, как эти результаты можно ио- лучить из общих принципов теории поля. Эта проблема была решена для Af = (1,0) для абелевой калибровочной теории в работе [50] с использованием метода фонового поля.
В данной работе проводятся вычисления вкладов в расходящуюся часть однопетлевого эффективного действия с использованием супериолевой диаграммной техники. Результаты вычислений, полученные данным методом, совпадают с результатами, найденными в [50] другим методом.
Сформулируем основные результаты работы.
Представлена общая схема построения гармонического суперпространства (13), рассмотрены формы Картапа (8), схема построения ковариантных производных с помощью этой формы (12). Так же введены гармонические переменные, и описаны основные аспекты введения гармонического пространства.
Введено шестимерпое Лб— (1,0) гармоническое суперпространство, описана его алгебра и ее особенности, представлена Л7 = (1,0) абелева калибровочная теория в шестимерпом суперпространстве, и введены основные используемые обозначения для полей гииермультиилета и векторного мультиплета.
Описаны основные свойства гармонических переменных, и примеры их применения при вычислении расходимостей, а так же алгебры ковариантных производных гармонического суперпространства.
Изучена структура расходимостей в шестимерпой суперсимметричной Лб— (1,0) абелевой калибровочной теории, взаимодействующей с гипермультиплетом. В рамках этой теории сформулирован производящий функционал с использованием процедуры Фаддеева-Попова, найдено действие в присутствии источников, описано взаимодействие для гииермультиилета и векторного мультиплета.
Найдены пропагаторы для суиериолей гииермультиилета и векторного мультиплета. Описана техника суиерграфов в гармоническом суперпространстве для вычисления петлевых вкладов в эффективное действие. Найдена расходящаяся часть одиоиетлевого эффективного действия (73). Полученные результаты сравнены с результатами в работе [50],полученными другим методом, и установлены соглашения.
Представлена общая схема построения гармонического суперпространства (13), рассмотрены формы Картапа (8), схема построения ковариантных производных с помощью этой формы (12). Так же введены гармонические переменные, и описаны основные аспекты введения гармонического пространства.
Введено шестимерпое Лб— (1,0) гармоническое суперпространство, описана его алгебра и ее особенности, представлена Л7 = (1,0) абелева калибровочная теория в шестимерпом суперпространстве, и введены основные используемые обозначения для полей гииермультиилета и векторного мультиплета.
Описаны основные свойства гармонических переменных, и примеры их применения при вычислении расходимостей, а так же алгебры ковариантных производных гармонического суперпространства.
Изучена структура расходимостей в шестимерпой суперсимметричной Лб— (1,0) абелевой калибровочной теории, взаимодействующей с гипермультиплетом. В рамках этой теории сформулирован производящий функционал с использованием процедуры Фаддеева-Попова, найдено действие в присутствии источников, описано взаимодействие для гииермультиилета и векторного мультиплета.
Найдены пропагаторы для суиериолей гииермультиилета и векторного мультиплета. Описана техника суиерграфов в гармоническом суперпространстве для вычисления петлевых вкладов в эффективное действие. Найдена расходящаяся часть одиоиетлевого эффективного действия (73). Полученные результаты сравнены с результатами в работе [50],полученными другим методом, и установлены соглашения.