1. Введение 3
2. Цель 6
3. Экспериментальная математика 7
4. Язык Wolfram и Mathematica 9
5. Числа Фибоначчи: основные свойства 11
6. Гауссовы числа 15
7. Свойства гауссовых чисел Фибоначчи 20
A. Выражение нормы через число Фибоначчи 20
B. Тождество с четырьмя последовательными гауссовыми числами Фибоначчи 21
C. Соседние гауссовы числа Фибоначчи взаимно просты 23
D. Периодичность g(n) mod m 24
Заключение 31
Список использованной литературы 32
Числа Фибоначчи названы в честь Леонардо Фибоначчи (1170-1240), который ис-следовал эти числа, полученные при решении следующей задачи. Классическая книга Фибоначчи «Liber Abaci» содержит много элементарных проблем, в том числе известную проблему о кроликах.
Предположим, есть два кролика, самец и самка. Найти число кроликов, произведен¬ных за год, если:
1. Каждой паре требуется один месяц, чтобы стать зрелой.
2. Каждая пара производит смешанную пару каждый месяц, начиная со второго ме-сяца.
3. В течении года кролики не умирают.
Предположим, для удобства, что первая пара кроликов родилась первого января. На созревание у них уходит один месяц, поэтому на первое февраля осталась только одна пара. Первого марта им два месяца, и они производят новую смешанную пару, всего две пары. Продолжая в том же духе, на первое апреля будет три пары, первого мая - пять пар и так далее. Смотрите последний ряд таблицы 1.
Коли-чество пар Январь Фев¬
раль Март Апрель Май Июнь Июль Август
Взрос¬
лые 0 1 1 2 3 5 8 13
Дети 1 0 1 1 2 3 5 8
Общее количе-ство 1 1 2 3 5 8 13 21
Таблица 1. Размножение кроликов
Определение последовательности Фибоначчи fi = f2 = 1 ^ Начальные условия
fn = fn-i + fn-2 n > 3 ^ Рекуррентное отношение
Последовательность Фибоначчи является одной из самых интригующих числовых последовательностей, и она продолжает предоставлять широкие возможности для профес-сионалов и любителей математики делать предположения и расширять математический кругозор.
Последовательность настолько важна, что была основана организация математиков «Ассоциация Фибоначчи» в 1963 году Вемером Э. Хоггаттом-младшим (1921-1980) из 3
колледжа штата Сан-Хосе (сейчас Университет штата Сан-Хосе) в Калифорнии и священ-ником Альфредом Бруссо (1907-1988) из колледжа Святой Марии в Калифорнии. Ассоциа¬ция издает журнал «The Fibonacci Quarterly», содержащий статьи, связанные с последова¬тельностью Фибоначчи и их обобщениям [4, 4-6 c.; 8].
Числа Фибоначчи часто встречаются в природных явлениях.
Зергер заметил, что экваториальный диаметр Земли в милях приблизительно равен произведению двух чисел Фибоначчи 55 и 144, и что в километрах это приблизительно про¬изведение двух последовательных чисел Фибоначчи 89 и 144:
55 * 144 = 7920 миль и 89 * 144 = 12816 километров.
Число лепестков во многих цветах часто является числом Фибоначчи. У паслена Эн- чантера два лепестка, у ириса и триллиума - три, у дикой розы - пять, у дельфиниума - восемь. У большинства ромашек 13, 21 или 34 лепестка, есть даже ромашки с 55 и 89 ле-пестками.
Числа Фибоначчи также встречаются в некоторых спиральных расположениях ли-стьев на ветках растений и деревьев. Если с любого листа на ветке подсчитать количество листьев, пока не достигнуть листа прямо над ним, число листьев часто является числом Фибоначчи. Для липы и вязов это число равно 2; буковых и ореховых деревьев - 3; абрико¬совых, вишневых и дубовых - 5; груш и тополей - 8; миндальных и ивовых деревьев - 13.
Ещё один интригующий факт: число витков по часовой стрелке или против часовой стрелки, которое мы можем взять от начального листа к конечному листу, также обычно является числом Фибоначчи. Например, для липы и вязов это занимает один ход; для бука и орехового дерева это также 1; для абрикосовых, вишневых и дубовых деревьев - 2; для груш и тополей - 3; а для миндальных и ивовых деревьев - 5.
Зрелые подсолнухи отображают числа Фибоначчи уникальным и удивительным об¬разом. Семена цветочков плотно упакованы в две отдельные спирали, исходящие от центра головки к внешнему краю. Одна идет по часовой стрелке, а другая - против. Исследования показали, что, хоть есть исключения, количество семян в спиралях являются соседними числами Фибоначчи; обычно их 34 и 55. Хоггатт сообщает о большом подсолнухе с 89 се¬менами в спирали в направлении по часовой стрелке и 55 семенами в противоположном направлении и гигантском цветке с 144 семенами в спирали по часовой стрелке и 89 - про¬тив часовой стрелки.
Чешуйки на ананасах имеют почти шестиугольную форму. Поскольку шестиуголь-ники идеально и красиво рассекают плоскость, чешуйки образуют три различных спираль-ных узора. Число элементов в спиралях соответствует числам Фибоначчи 8, 13 и 21 [4, 16-26 с.].
Последовательность Фибоначчи часто неожиданно появляются в различных матема¬тических контекстах. Например, учетные карточки обычно делаются размером 2 х 3 или 3 х 5; большинство восточных ковров бывает пяти разных размеров: 2 х 3, 3 х 5, 4 х 6, 6 х 9 или 9 х 12. В первых двух случаях размеры соответствуют смежным числам Фибона¬ччи; в третьем и четвертом случаях соотношение 4:6 = 6:9 такое же, как соотношение 2:3; и в последнем случае соотношение 9:12 является отношением 3:4 двух соседних чисел Лу¬каса [4, 51 с.].
Известно множество тождеств с числами Фибоначчи. Например [6], fn = fn-1 + /п-2;
fn = fn+2 - fn + 1;
fn+1 * fn-1 - (fn)2 = cos (n * Я);
fk+n * fm+n - fk+m+n *fn = (-1)n * fk * frn> ГДе k,m,n E N.
С помощью классических чисел Фибоначчи определяются [2] гауссовы числа Фибо¬наччи g(n), которые образуют последовательность в кольце целых гауссовых чисел Z[i]: g(n) = f(n) + i f(n + 1) для n = 0, 1, 2, ...
Первые семь гауссовых чисел Фибоначчи: i, 1 + i, 1 + 2i, 2 + 3i, 3 + 5i, 5 + 8i, 8 + 13z.
В данной работе исследуются свойства гауссовых чисел Фибоначчи.
В данной работе были исследованы свойства гауссовых чисел Фибоначчи, они были доказаны с помощью Wolfram Mathematica и с помощью традиционной математики:
1. Для всех неотрицательных целых чисел n выполнено N(gn) = f2n+1-
2. Для всех положительных целых чисел n выполнено gn+2 * gn+i - gn+з * gn = (-i)n(2 + 0.
3. Два последовательных гауссовых числа Фибоначчи gn и gn+1, где n - положи-тельное целое число, являются взаимно простыми гауссовыми целыми числами.
Также была обнаружена периодичность последовательности остатков гауссовых чи¬сел Фибоначчи по модулю т при фиксированном натуральном числе т. Для этого при-шлось ввести определение сравнения для гауссова числа, когда модуль также гауссово число. И была доказана следующая теорема: для любого натурального т последователь-ность g(n) mod т (n пробегает натуральный ряд) является периодической по модулю т. Причем длина периода такая же, как и для последовательности fin) mod m.
