Введение 2
1 Основные обозначения 5
2 Кривые с постоянным разделением 6
3 Цилиндрические кривые 9
4 Функционал действия 12
5 Гамильтонов анализ со связями 15
6 Взаимосвязь с ранее построенной моделью 18
Заключение 21
Список литературы 22
В релятивистской механике спин определяется как собственный момент импулвса частицы. Классическая частица, снабжённая собственным моментом импулвса, называется спиновой частицей. Наличие спина на классическом уровне учитвхвается введением в дополнение к пространственно- временнвхм координатам, задающим точку в пространстве Минковского, внутренних переменнвхх, описвхвающих спин. Если переменнвхе x“,Q = 0, d — 1 задают точку пространства времени, а переменнвхе za, a = 0, A являются внутренними переменнвхми, то положение спиновой частицвх задается набором переменнвхх
fxA,za,[i = 0,d — 1,a = 1,Ag . (0-1)
С геометрической точки зрения это значит, что конфигурационное пространство спиновой частицвх M является расслоением над пространственно- временнвхм многообразием B1,d-1, причем координатах на слоях описывают конфигурации спиновых степеней свободы. Внутренние переменные могут быть коммутирующими или анти-коммутирующими переменными. В зависимости от принятой четности внутренних переменных оказывается возможным описывать частицы с целым и полу целым спином.
Особый интерес представляет класс неприводимых спиновых частиц, чье квантование соответствует неприводимому представлению группы симметрии пространства-времени. Метод Кириллова-Костанта-Сурье [1], [2], [3] отождествляет неприводимую спиновую частицу с орбитой коприсоединен- ного действия группы Пуанкаре. В частности, неприводимая классическая массивная спиновая частица соответствует орбите коприсоединенного действия группы Пуанкаре с ненулевыми массой и спином. Функционал действия дается симплектической формой на коорбите. К настоящему времени известно большое количество различных моделей неприводимых спиновых частиц, например [4], [5], [6], [7], [8]. Все они отличаются способом введения внутренних переменных, характеризующих спин. В зависимости от конкретного выбора спиновых переменных различают векторные, тензорные, спинорные и твисторные модели спиновых частиц [9].
В недавней работе [10] было показано, что из одного лишь факта неприводимости представления группы Пуанкаре следует, что траектории неприводимой массивной спиновой частицы принадлежат некоторой поверхности в пространстве Минковского, называемой мировом листом. В пространственновременных размерностях d = 3,4 мировые листы представляют собой 2d цилиндры, положение которых в пространстве Минковского полностью определяется импульсом P и полным угловым моментом J частицы, причем значения этих величин ограничены лишь одним условием принадлежности к коорбите группы Пуанкаре. Таким образом, пространство состояний спиновой частицы может быть реализовано в виде множества мировых листов в пространстве Минковского. Также в [10] было показано, что факт принадлежности траектории мировому листу позволяет получить невариационные дифференциальные уравнения с высшими производными, описывающие динамику массивной спиновой частицы, причем эти уравнения не вовлекают переменные '.". описывающие спин. В этом смысле подход, использованный в работе [10], называется геометрическим.
В настоящей работе мы предъявляем конструкцию для функционала действия массивной спиновой частицы, основанную на идее условного экстремума функционала в классе траекторий, подчинённых связям. В рамках нашего подхода текущее положение частицы описывается как сумма двух различных векторов. Один из этих векторов соединяет начало координат и точку на оси цилиндра, а второй соединяет эту точку на оси цилиндра с текущим положением частицы. Функционал действия в такой модели даётся длиной проекции пути на осв цилиндра с учетом внутреннего вращения, в то время как траектория частицы является произволвной кривой, равноудалённой от оси цилиндра и имеющей общую нормалв с ней. С геометрической точки зрения описываемая ситуация допускает описание при помощи криввхх с постояннвхм разделением [11]. А именно, осв цилиндра интерпретируется как первичная кривая, в то время как путв частицвх является произволвной траекторией равноудалённой от первичной кривой(вторичная кривая). Как мы увидим далее, исполвзование техники криввхх с равнвхм разделением позволяет построитв простое ввхражение для функционала действия спиновой частицвх, являющееся основнвхм резулвтатом данной работах.
Оставшаяся часть работы организована следующим образом. В разделе 1 введены основные определения и обозначения, используемые далее по тексту. В частности, вводятся скалярное, векторное и смешанное произведение векторов в пространстве Минковского и обсуждаются их свойства. В разделе 2 объясняется техника кривых с постоянным разделением, необходимая для описания цилиндрических кривых. В разделе 3 более подробно обсуждаются цилиндрические кривые и приводится некоторая аргументация касательно введения, рассматриваемого в данной работе, лагранжиана. В разделе 4 вводится и изучается функционал действия массивной спиновой частицы, чьими экстремалями являются цилиндрические кривые. В разделе 5 выполнен гамильтонов анализ со связями для построенной модели. Установлена структура связей и показано, что построенная модель спиновой частицы имеет правильное число степеней свободы. В разделе 6 установлена взаимосвязь предложенной нами модели с известной моделью классической неприводимой массивной частицы со спином. Заключение содержит обсуждение основных полученных результатов.
В настоящей работе была предложена модель классической неприводимой массивной частицы со спином. Динамика частицы в такой модели описывается парой кривых с постоянным разделением. С использованием некоторого произвола в определении таких кривых было введено действие со связями, которое реализует кривую, лежащую на цилиндре с времениподобной осью. В рамках нашего подхода текущее положение частицы описывается как сумма двух различных векторов: один из этих векторов соединяет начало координат и точку на оси цилиндра, а второй соединяет эту точку на оси цилиндра с текущим положением частицы. Было показано, что это действие действительно описывает неприводимую частицу с массой и спином, а также, что система имеет правильное для трехмерного пространства-времени число степеней свободы. В качестве проверки была установлена взаимосвязь, с ранее построенной, моделью аниона. Теперь, имея лагранжеву формулировку, можно изучать более сложные системы, например изучать динамику такой частицы в гравитационном поле или рассмотреть взаимодействие с электромагнитным полем.
