Статистическая механика представляет собой одно из ключевых направлений теоретической физики, обеспечивающее связь между микроскопическими законами движения и макроскопическими наблюдаемыми характеристиками физических систем [1]. Одним из перспективных направлений развития статистической механики является её применение к так называемым мультигамильтоновым системам.
Понятие мультигамильтоновых систем возникло в рамках симплекти- ческой и пуассоновой геометрии и активно развивается с конца XX века. В отличие от классических гамильтоновых систем, описывающих эволюцию состояния при помощи единственной выделенной функции Гамильтона (гамильтониана) и канонической скобки Пуассона, мультигамильтоновы системы допускают существование нескольких гамильтонианов, приводящих к одним и тем же уравнениям движения. Это свойство открывает новые перспективы как для более глубокого анализа интегрируемых систем, так и для построения обобщённых форм статистической механики.
На сегодняшний день в области теории мультигамильтоновых систем уже достигнуты значительные успехи. Подробно изучаются интегрируемые системы и пуассоновы структуры на них [2], разработаны методы классификации этих структур [3], а также описаны конкретные приложения данной теории в физике и математике [4, 5, 6].
Мультигамильтоновы системы находят своё естественное описание в рамках обобщённой гамильтоновой механики, известной также как механика Намбу-Пуассона. Этот формализм, предложенный ещё в 1973 году японским физиком Й. Намбу [7], представляет собой обобщение классической гамильтоновой механики, в котором эволюция системы задаётся не выделенной функцией Гамильтона, а набором интегралов движения и соответствующей n-мерной операцией - обобщенной скобкой Намбу [8].
Целью настоящей работы является исследование и разработка алгоритма построения статистической механики мультигамильтоновых систем в четырехмерном фазовом пространстве. Для этого предполагается определить явный вид пуассонова бивектора системы, с использованием заданных интегралов движения, высшего инварианта системы (в смысле равенства нулю его производной Ли вдоль векторного поля скоростей) и тензорной операции скобки Схоутена; решить проблему вырожденности бивектора, посредством рассмотрения задачи в специальной системе координат; построение инвариантной меры на фазовом пространстве; получение явного вида статистического интеграла в специальной и произвольной системе координат; построение обобщенного распределения Гиббса для произвольной мультигамильтоновой системы в четырехмерном фазовом пространстве.
Выпускная квалификационная работа организована следующим образом: в разделе 1 приведены основные сведения из пуассоновой геометрии, необходимые для понимания и постановки задачи. В разделе 2, рассмотрена механика Намбу в применении к мультигамильтоновым системам, а также обобщенная механики Намбу с точки зрения высшего инварианта динамической системы, приведена конкретная формула для получения пуассоновых бивекторов из интегралов движения и высшего инварианта. В разделе 3 приведен алгоритм построения статистической механики мульти- гамильтоновой системы с использованием специальной системы координат и последующее обобщение результатов на случай произвольной системы. Применение полученного алгоритма иллюстрируется на примерах: цепочка Тоды с четырьмя звеньями, двумерный гармонический осциллятор в сферически симметричном потенциале. Заключение обобщает полученные результаты.
В данной работе была рассмотрена задача разработки алгоритма построения статистической механики мультигамильтоновых систем в четырехмерном фазовом пространстве по трем заданным интегралам движения. Задача была решена с использованием формализма Намбу-Пуассона и его формулировки в терминах скобки Схоутена и высшего инварианта динамической системы.
Для построения статистической механики гамильтониан системы был выбран как линейная комбинация заданных интегралов движения с постоянными коэффициентами. Была использована специальная система координат, где интегралы движения понимаются как локальные координаты, для решения проблемы вырожденности пуассонова бивектора, построения инвариантной меры на фазовом пространстве, определения явного вида статистического интеграла и канонического распределения Гиббса, после чего результат был обобщен на случай произвольной системы координат.
Общая конструкция алгоритма была продемонстрирована на двух примерах: цепочке Тоды с четырьмя звеньями и двумерном гармонический осциллятор с совпадающими частотами. Получены статистический интеграл, функция распределения, а также основные термодинамические потенциалы для данных систем. В обоих примерах свободная энергия является выпуклой вверх функцией температуры, а теплоемкость является положительной, что говорит об термодинамической устойчивости данных систем.
Формализм Намбу-Пуассона предоставляет более широкие возможности по изучению статистической механики и термодинамики нестандартных систем, таких как мультигамильтоновы. С абстрактной точки зрения для системы, микроскопическая динамика которой на классическом уровне может равноправно описываться различными гамильтонианами, может быть построено целое семейство статистических механик. В действительности, у реальной физической системы может быть только одна энергия и, соответственно, только одно распределение, что в рамках данного формализма означает выделение конкретного представителя из полученного семейства, путем фиксации параметров распределения, которые могут быть определены, например, на основе экспериментальных данных наблюдаемых термодинамических величин.
Если говорить о конкретных приложениях, то полученные результаты могут быть применены к рассмотрению статистической механики систем с высшими производными, где есть известная проблема устойчивости, которая может быть разрешена выбором параметров так, чтобы энергия системы была ограничена снизу, а статистические интегралы сходились.
