Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


О гладком восполнении эластичности сеточных функций

Работа №180494

Тип работы

Дипломные работы, ВКР

Предмет

математика

Объем работы63
Год сдачи2019
Стоимость4600 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено
0
Не подходит работа?

Узнай цену на написание


Введение 3
1 Восполнение сеточных функций 6
1.1 Сплайновая интерполяция 6
1.2 Метод наименьших квадратов 13
2 Эластичность функции 17
2.1 Определение эластичности функции 17
2.2 Свойства эластичности 20
3 Постановка задачи и результаты расчетов 23
Заключение 48
Литература 49
Приложение 1 51
Приложение 2 57


Многие века математиков занимала проблема единообразного и достаточно простого представления сложных функций. В ушедшем столетии этой проблемой занялись и представители прикладных наук, в частности, таких как связь, радиотехника и средства телекоммуникаций. Можно отметить такие крупные вехи на пути решения этой проблемы, как разложение произвольных (с определенными ограничениями) функций в ряд Тейлора, полиномиальную и рациональную аппроксимации, и, наконец, представление функций рядами Фурье [1].
Некоторые формулы, описывающие важные физические явления и математические понятия (например, траектории планет Солнечной системы), достаточно сложны. В связи с этим появилась задача о замене представления сложных функций более простыми или набором простых функций - задача аппроксимации. При этом желательно, чтобы аппроксимация была как можно более точной и вычислялась за малое время.
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с приближенными функциями. Развитие науки и техники привело к созданию большого множества простых по виду специальных математических функций, представляющих решения дифференциальных уравнений определенного вида или интегралов. Расчеты таких уравнений требуют много времени. Поэтому были созданы таблицы, где с некоторым заданным интервалом были приведены расчеты вышеупомянутых интегральных и дифференциальных уравнений. При работе с таблицами возникает задача интерполяции функций: по заданной таблице чисел (xi, f (xi)), i = 0, N, восстановить функцию f (x) с той или иной точностью на отрезке [a, 6] действительной оси. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена Лагранжа [2]. Однако практическое применение таких многочленов при больших N для функций с особенностями и малой гладкостью ограничено. Этот недостаток можно устранить, если использовать полиномиальные сплайны (spline - рейка, стержень).
Полиномиальным сплайном называется функция, которая склеена из различных кусков многочленов по фиксированной системе. Развитию теории таких сплайнов и их популяризации много содействовали труды И. Шенберга. Наибольшее распространение получили линейные и кубические сплайны. Линейные в силу их простоты, а кубические в силу того, что алгоритм их построения эффективно реализуется на современных компьютерах [3, 4].
Опыт применения сплайн - функций как аппарата приближения функций в численном анализе показывает, что во всех известных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по сравнению с классическим аппаратом многочленов. Переход к сплайнам приводит к повышению точности результатов, к значительному сокращению вычислительных затрат, а так же с помощью сплайнов удалось решить и такие задачи, которые другим путем решить было бы невозможно.
Проведение аппроксимации с одновременной статистической обработкой данных относится к регрессии или задачам регрессионного анализа. При этом широко используется оценка среднеквадратической погрешности для всех точек обрабатываемых данных, а сам метод подобного приближения и анализа функций получил название метода наименьших квадратов [5].
Однако существует класс задач, который невозможно решить, используя традиционный аппарат представления произвольных функций (разложение в ряды Фурье, использование аппроксимации многочленами и т.д.). К вышеупомянутому классу задач относится проблема аппроксимации функций с локальными особенностями, в частности, импульсных и цифровых сигналов и изображений. Значительные успехи в этой области были достигнуты с появлением вейвлетов [6]. Вейвлеты - это функции типа маленькой волны (всплески). В этой теории широко используются сплайны.
Целью математического моделирования экономических и социальных задач является использование методов математики и современной вычислительной техники для наиболее эффективного их решения.
Понятие эластичности в качестве характеристики, отражающей зависимость между экономическими показателями, ввел в экономическую теорию А. Маршалл (1885 г.). Эластичность, как и производная, показывает изменение значения функции при изменении независимой переменной [7]. Отличие эластичности от производной состоит в том, что величина производной зависит от того, в каких единицах измеряются переменные. Например, объем производства и время можно измерять в тоннах и месяцах, можно в килограммах и днях, - значение производной от объема по времени в первом и втором случае будут размерными, эластичность же будет величиной безразмерной. Это обстоятельство обосновывает применение понятия эластичности в экономических приложениях [8,9,10,11,12,13].
Цель выпускной работы - создать алгоритм восполнения эластичности сеточной функции y(x) сплайном и методом наименьших квадратов для х е [а,Ь].
Основные задачи выпускной работы:
1. Получить и обосновать расчетные формулы восстановления эластичности Ey (х) сеточной функции y(х) кубическим сплайном, и методом наименьших квадратов (МНК).
2. Создать программы вычисления эластичности Ey (х) сеточной функции у( х) по предложенным алгоритмам. Провести расчеты и их анализ.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании работ!


1. Предложено три способа восполнения эластичности сеточной функции, основанные на применении сплайновой интерполяции и метода наименьших квадратов.
2. Получены расчетные формулы и проведено их обоснование.
3. В результате расчетов установлено, что:
1) первый способ является наиболее точным, однако второй способ позволяет представить эластичность на каждом интервале в виде
кубического сплайна;
2) метод наименьших квадратов можно использовать для сеточной функции
с погрешностью, однако при этом необходимо выбирать
соответствующею степень полинома;
3) предложенные алгоритмы можно использовать для восполнения эластичности сеточных функций.
Результаты работы, докладывались на Всероссийской молодежной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (г. Томск, 23-27 апреля 2019 г.).



1. Ильин В. А. Математический анализ ч. 2 : учебник для бакалавров / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. X. Сеидов. - 3-е изд. - Москва : Издательство Юрайт, 2015. - 357 с.
2. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. - СПб.: Лань, 2008. - 256 с.
3. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко; под ред. Н. Н. Яненко. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
4. Берцун В.Н. Сплайны сеточных функций: Учебное пособие / В.Н. Берцун. - 2-е изд., испр. и доп. - Томск: Изд-во «ТМЛ-Пресс», 2007. - 136 с.
5. Шуп Т.Е. Решение инженерных задач на ЭВМ : Практ. руководство / Т. Шуп; Перевод с англ. В. А. Хохрякова. - М.: Мир, 1981. - 235 с.
6. Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов / Н. К. Смоленцев. - Москва; Ижевск: РХД, 2010. - 282 с.
7. Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник. Ч. 2.
Математический анализ / А.С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2013. - 560 с.
8. Макконнелл К.Р. Экономикс: принципы, проблемы и политика: Уч. / К.Р. Макконнелл, С.Л. Брю, Ш.М. Флинн. - Пер. 19-e англ. изд. - М.: ИНФРА- М, 2013. - XXVIII, 1028 с.
9. Канторович Л.В. Оптимальные решения в экономике / Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. - М.: Наука, 1972. - 231 с.
10. Елисеев А.С. Экономика / А.С. Елисеев. - М.: Дашков и К, 2014. - 528 с.
11. Громыко Г.Л. Теория статистики / Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М, 2005. - 476 с.
12. Елисеева И. И. Эконометрика : учебник для бакалавриата и магистратуры / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 449 с.
13. Капица С. П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166. - № 1. - С. 63-80.
14. Меркулова Н.Н. Методы приближенных вычислений : учебное пособие / Н.Н. Меркулова, М.Д. Михайлов; под ред. А.В. Старченко. - 2-е изд., перераб. и доп. - Томск: Издательский Дом ТГУ, 2014. - 764 с.
15. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. - СПб.: Лань, 2009. - 736 с... 17

Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




©2025 Cервис помощи студентам в выполнении работ