Введение 3
1 Восполнение сеточных функций 6
1.1 Сплайновая интерполяция 6
1.2 Метод наименьших квадратов 13
2 Эластичность функции 17
2.1 Определение эластичности функции 17
2.2 Свойства эластичности 20
3 Постановка задачи и результаты расчетов 23
Заключение 48
Литература 49
Приложение 1 51
Приложение 2 57
Многие века математиков занимала проблема единообразного и достаточно простого представления сложных функций. В ушедшем столетии этой проблемой занялись и представители прикладных наук, в частности, таких как связь, радиотехника и средства телекоммуникаций. Можно отметить такие крупные вехи на пути решения этой проблемы, как разложение произвольных (с определенными ограничениями) функций в ряд Тейлора, полиномиальную и рациональную аппроксимации, и, наконец, представление функций рядами Фурье [1].
Некоторые формулы, описывающие важные физические явления и математические понятия (например, траектории планет Солнечной системы), достаточно сложны. В связи с этим появилась задача о замене представления сложных функций более простыми или набором простых функций - задача аппроксимации. При этом желательно, чтобы аппроксимация была как можно более точной и вычислялась за малое время.
В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с приближенными функциями. Развитие науки и техники привело к созданию большого множества простых по виду специальных математических функций, представляющих решения дифференциальных уравнений определенного вида или интегралов. Расчеты таких уравнений требуют много времени. Поэтому были созданы таблицы, где с некоторым заданным интервалом были приведены расчеты вышеупомянутых интегральных и дифференциальных уравнений. При работе с таблицами возникает задача интерполяции функций: по заданной таблице чисел (xi, f (xi)), i = 0, N, восстановить функцию f (x) с той или иной точностью на отрезке [a, 6] действительной оси. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена Лагранжа [2]. Однако практическое применение таких многочленов при больших N для функций с особенностями и малой гладкостью ограничено. Этот недостаток можно устранить, если использовать полиномиальные сплайны (spline - рейка, стержень).
Полиномиальным сплайном называется функция, которая склеена из различных кусков многочленов по фиксированной системе. Развитию теории таких сплайнов и их популяризации много содействовали труды И. Шенберга. Наибольшее распространение получили линейные и кубические сплайны. Линейные в силу их простоты, а кубические в силу того, что алгоритм их построения эффективно реализуется на современных компьютерах [3, 4].
Опыт применения сплайн - функций как аппарата приближения функций в численном анализе показывает, что во всех известных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по сравнению с классическим аппаратом многочленов. Переход к сплайнам приводит к повышению точности результатов, к значительному сокращению вычислительных затрат, а так же с помощью сплайнов удалось решить и такие задачи, которые другим путем решить было бы невозможно.
Проведение аппроксимации с одновременной статистической обработкой данных относится к регрессии или задачам регрессионного анализа. При этом широко используется оценка среднеквадратической погрешности для всех точек обрабатываемых данных, а сам метод подобного приближения и анализа функций получил название метода наименьших квадратов [5].
Однако существует класс задач, который невозможно решить, используя традиционный аппарат представления произвольных функций (разложение в ряды Фурье, использование аппроксимации многочленами и т.д.). К вышеупомянутому классу задач относится проблема аппроксимации функций с локальными особенностями, в частности, импульсных и цифровых сигналов и изображений. Значительные успехи в этой области были достигнуты с появлением вейвлетов [6]. Вейвлеты - это функции типа маленькой волны (всплески). В этой теории широко используются сплайны.
Целью математического моделирования экономических и социальных задач является использование методов математики и современной вычислительной техники для наиболее эффективного их решения.
Понятие эластичности в качестве характеристики, отражающей зависимость между экономическими показателями, ввел в экономическую теорию А. Маршалл (1885 г.). Эластичность, как и производная, показывает изменение значения функции при изменении независимой переменной [7]. Отличие эластичности от производной состоит в том, что величина производной зависит от того, в каких единицах измеряются переменные. Например, объем производства и время можно измерять в тоннах и месяцах, можно в килограммах и днях, - значение производной от объема по времени в первом и втором случае будут размерными, эластичность же будет величиной безразмерной. Это обстоятельство обосновывает применение понятия эластичности в экономических приложениях [8,9,10,11,12,13].
Цель выпускной работы - создать алгоритм восполнения эластичности сеточной функции y(x) сплайном и методом наименьших квадратов для х е [а,Ь].
Основные задачи выпускной работы:
1. Получить и обосновать расчетные формулы восстановления эластичности Ey (х) сеточной функции y(х) кубическим сплайном, и методом наименьших квадратов (МНК).
2. Создать программы вычисления эластичности Ey (х) сеточной функции у( х) по предложенным алгоритмам. Провести расчеты и их анализ.
1. Предложено три способа восполнения эластичности сеточной функции, основанные на применении сплайновой интерполяции и метода наименьших квадратов.
2. Получены расчетные формулы и проведено их обоснование.
3. В результате расчетов установлено, что:
1) первый способ является наиболее точным, однако второй способ позволяет представить эластичность на каждом интервале в виде
кубического сплайна;
2) метод наименьших квадратов можно использовать для сеточной функции
с погрешностью, однако при этом необходимо выбирать
соответствующею степень полинома;
3) предложенные алгоритмы можно использовать для восполнения эластичности сеточных функций.
Результаты работы, докладывались на Всероссийской молодежной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (г. Томск, 23-27 апреля 2019 г.).
