Введение 2
Математическая постановка задачи 3
Построение разностной схемы 5
Метод расщепления 14
Распространение тепла при нагревании тела конвективным тепловым потоком 16
Задача установления неоднородного радиационного поля 18
Нагрев тела с учётом радиационного охлаждения его поверхности 26
Заключение 28
Литература 29
При рассмотрении многих явлений в природе и технике важную роль играет теплопроводность.
Теплопроводность - это перенос теплоты частицами вещества (молекулами, атомами, электронами) в процессе их теплового движения. Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передается из более нагретых областей тела к менее нагретым областям или передаётся другому телу при их взаимодействии . Рассмотрение этого явления требуется при проектировании технических устройств, которые в процессе работы могут подвергаться нагреву или охлаждению. В природе данное явление является важным при прогнозировании поведения температуры тел под воздействием колебаний температуры внешней среды. Такое же прогнозирование требуется и при проектировании различного рода конструкций. Одним из способов такого прогнозирования является расчет или вычислительный эксперимент. При этом температура внутри твердых тел описывается нестационарным уравнением теплопроводности. Это уравнение является уравнением в частных производных, в общем случае трехмерным.
Наиболее просто уравнение теплопроводности решается в одномерном случае. В других случая, когда требуется решать двумерное или трехмерное уравнение, можно применять метод расщепления, который позволяет эти задачи свести к набору одномерных задач.
Целью работы является рассмотрение различных вариантов метода расщепления для численного решения двумерного уравнения теплопроводности.
В данной работе была рассмотрена двумерная задача теплопроводности в прямоугольной области с граничными условиями общего вида. При применении конечно-разностных методов для решения поставленной задачи рассмотрены такие понятия, как аппроксимация, устойчивость и сходимость. Построена разностная схема, аппроксимирующая задачу с первым порядком по времени и вторым - по пространственным переменным. Рассмотрены различные методы расщепления для решения уравнения теплопроводности. Разработаны программы, реализующие рассматриваемые методы:
- локально - одномерная схема (ЛОС);
-метод Дугласа - Рекфорда (ДР);
- Метод ДР с итерациями.
Произведено сравнение численного решения задачи теплопроводности с граничными условиями 3 - его рода. Рассмотренные варианты расщепления дали близкие результаты.
Рассмотрена задача получения неоднородного стационарного решения уравнения переноса излучения методом установления по времени. Показано, что в случае применения ЛОС стационарное решение зависит от шага по времени и может сильно отличаться от аналитического. Метод Дугласа - Рекфорда свободен от этого недостатка.
Рассмотрена нелинейная задача о неравномерном конвективном нагреве тела с учётом радиационного охлаждения его поверхности. Сравнение результатов, полученных двумя вариантами метода Дугласа-Рекфорда, не выявило существенных отличий между ними.
