РЕФЕРАТ 4
ВВЕДЕНИЕ 6
1 Исследование СМО MMPP(v)/(GIM)2 8
1.1 Постановка задачи 8
1.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 10
1.3 Метод асимптотического анализа 13
1.3 Численный анализ точности асимптотических результатов 20
2 Исследование СМО MMPP(v)/(GIM)n 23
2.1 Постановка задачи 23
2.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 26
2.3 Метод асимптотического анализа 28
3 Исследование СМО MMPP(v)/GI(n)M 36
3.1 Постановка задачи 36
3.2 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 39
3.3 Метод асимптотического анализа 41
3.4 Численный анализ точности асимптотических результатов 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 54
Системы массового обслуживания (СМО) требований случайного объема позволяют решать задачи современных технических систем, например, загрузки каналов, передачи данных в сети [1-3], в качестве математической модели имеют применение СМО требований случайного объема [4]. Сообщения или заявки, поступающие в систему, обладают различным информационным объемом, который представляет собой случайную величину.
В работах [5-8] были исследованы СМО с ограничением на суммарный объем заявок при инверсионном порядке обслуживания (дисциплина LIFO). Оказалось, что в этом случае можно получить алгоритмы, пригодные для численных расчетов стационарных характеристик.
В дальнейшем, большой вклад в развитие методов исследования ресурсных СМО внес О. М. Тихоненко с коллегами. В своих работах [9, 10, 11] авторы рассматривают два класса систем массового обслуживания:
1) системы, в которых суммарный объем требований неограничен, а время обслуживания зависит от длины требования [12]; в системе реализован алгоритм AQM (Active Queue Management), т.е. каждое требование, поступающее в систему может получить отказ в обслуживании и потеряться, даже если в памяти имеется свободное место для его размещения, с вероятностью, зависящей от объема данного требования и суммарного объема других требований, имеющихся в системе в момент его поступления. Для описанной системы определяются стационарное распределение числа требований и вероятность потери;
2) системы с ограниченным суммарным объемом, в которых длины требований и времена их обслуживания независимы [13]. Для данной системы определяются стационарное распределение числа требований и вероятность потери требования.
Широко применяются методы теории массового обслуживания для адекватного описания процесса передачи информации. К тому же, ввиду неоднородности предоставляемых услуг (телефонные звонки, передача текстовых сообщений, видео- и аудиосообщений, использование интернет), необходимо учитывать объем передаваемой информации. В связи с этим, актуальным является разработка новых ресурсных моделей, сформулированных в терминах систем массового обслуживания, которые бы позволили оценить объемы занятого ресурса.
Системы и сети массового обслуживания уже давно применяются в качестве математических моделей различных информационно-компьютерных систем и сетей [14, 15]. Аналитические результаты удается получить, если входящие потоки - пуассоновские. Однако, марковские или рекуррентные потоки событий наиболее адекватно описывают современные потоки данных компьютерных и телекоммуникационных сетей.
Целью данной выпускной квалифицированной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем массового обслуживания вида MMPP(v)/(GIM)2, MMPP(v)/(GIM)w и MMPP(v)/GI(w)M методом асимптотического анализа в условии высокой интенсивности входящего потока и предельно частых изменений состояний цепи Маркова.
В данной работе представлено исследование математических моделей немарковских ресурсных систем массового обслуживания с произвольным временем обслуживания и MMPP входящим потоком. Получены формулы для стационарных вероятностных характеристик процессов числа заявок и суммарного объема занятого ресурса в системе.
Были исследованы двухфазная, многофазная и неоднородная ресурсные СМО с неограниченным числом приборов с входящим MMPP- потоком.
Для двухфазной бесконечнолинейной ресурсной системы массового обслуживания с помощью методов многомерного динамического просеивания и асимптотического анализа получена аппроксимация стационарного распределения вероятностей четырехмерного случайного процесса числа заявок и суммарного объема занятого ресурса на фазах системы в условии высокой интенсивности входящего потока и предельно частых изменений состояний цепи Маркова.
Для многофазной ресурсной бесконечнолинейной системы массового обслуживания обобщены полученные результаты, а именно получена аппроксимация стационарного распределения вероятностей 2н-мерного случайного процесса числа заявок и суммарного объема занятого ресурса на фазах системы.
Для неоднородной ресурсной СМО с неограниченным числом приборов показано, что совместное асимптотическое распределение вероятностей числа заявок и суммарного объема занятого ресурса каждого типа сходится к многомерному гауссовскому распределению в асимптотическом условии высокой интенсивности входящего потока и предельно частых изменений состояний цепи Маркова.
Для каждой из систем проведен численный анализ, который демонстрирует высокую точность аппроксимации.
По результатам выпускной квалификационной работы были сделаны доклады на международных и всероссийских конференциях:
- 19-20 мая 2017 г. - V-я Международная молодежная научная
конференция «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», Томск;
- 25-30 июня 2017 г. - «Вычислительная и прикладная математика 2017», Новосибирск, Академгородок.
- 24-26 мая 2018 г. - VI-я Международная молодежная научная
конференция «Математическое и программное обеспечение
информационных, технических и экономических систем», Томск.
По материалам выпускной квалификационной работы подготовлено 11 публикаций: опубликовано [21-27] и четыре работы находятся в печати [28¬31].
