Введение 3
Список обозначений 4
§ 1. Основные вспомогательные определения и теоремы 5
§2. Кольцо /7-адических чисел 12
§3. Пример: 10-адические числа, их представления и операции над ними 15
§3.1 Примеры задач и их решения 20
§4. Кольцо целых/2-адических чисел 22
§5. Модули над кольцом целых/>-адических чисел 27
Заключение 30
Список используемой литературы 31
Во всех областях математики используется очень важное и хорошо известное нам поле вещественных чисел №L Но есть и другие числа, которые играют важную роль как в теории чисел, так и в других областях математики. Об одном виде таких чисел и пойдет речь — это так называемые целые р-адические числа. Вообще, р-адические числа были введены немецким математиком Куртом Гензелем в 1897 году, р-адические числа широко применяются в алгебраической геометрии, теории чисел и теории представлений. Начиная с 80-х годов прошлого века р-адические числа получили широкое применение в математической физике. Множество таких чисел образует кольцо, обозначаемое 2р. Такие числа, как и обычные вещественные можно складывать и умножать. На самом деле такие числа определяются для любого натурального п и они образуют кольцо Zn. В качестве примера приводятся 10-адические числа. Подробно разбираются операции сложения, умножения и деления этих чисел, а также ряд интересных задач в которых эти числа используются.
Мы знаем, что целое положительное число п можно записать в канонической 1 /Ci к2
форме п = рг • р2 ' •••' Ps ? и тогда используя это, можно доказать, что имеет место изоморфизм колец TLn = ZP1 ф Zp2 ф ... ф ZPs. Так как TLn является прямой суммой колец вида Zp, то все сводится к кольцам целых /л-адических чисел. Поэтому достаточно исследовать n-адические числа только для простых чисел п.
В настоящей выпускной бакалаврской работе приведены две формы записи целых р-адических чисел, а также основные теоремы и факты о кольцах целых р-адических чисел. В частности, решается вопрос о том, когда целое р-адическос число является обратимым. Доказывается, что кольцо Зф является коммутативной областью главных идеалов. Так же рассматривается строение циклических и конечно-порожденных модулей над кольцом Zp.
Целью данной работы было рассмотрение кольца целых р-адических чисел На самом деле такие числа определяются и для любого натурального п и они образуют кольцо Zn. В работе были приведены примеры сложения, умножения и деления чисел на конкретном частном случае 10-адических чисел, которое тоже образует кольцо Z10. Далее отмечается, что целые действительные числа можно всегда представить с помощью 10-адических чисел, однако не все рациональные можно представить с помощью них, поэтому вложение Q с Z10 невозможно. Также приводится ряд задач и их решения, где используются такие числа. Далее по теореме 7 можно сделать вывод о том, что достаточно исследовать n-адические числа только для простых чисел п. Поэтому рассматривается случай, когда р - простое число и р-адические числа, традиционно принято называть целыми р-адическими числами.
В работе рассмотрено построение таких чисел, приведены два эквивалентных определения для записи целых р-адических чисел, а так же важное понятие высоты для этих чисел, которое существенно используется в ряде доказательств основных теорем. Главным выводом о кольце целых р-адических чисел стало то, что такое кольцо является коммутативной областью главных идеалов. Еще определено множество, только не целых а просто р-адических чисел (см. определение 19) образует кольцо <Ц>Р, которое является полем р-адических чисел, причем кольцо целых р-адических чисел - его подкольцо. Еще рассмотрено понятие модуля над кольцом целых р-адических чисел и выяснено, что всякий конечно-порожденный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму циклических модулей.
р-аадические числа широко используются в алгебраической геометрии, теории чисел, теории групп, а так же образуют свою дисциплину в математике так называемый р-адический анализ. Последние 30 лет р-адичсские числа стали интенсивно использоваться в теоретической и математической физике. Были получены применения р-адических чисел в теории струн, развиты модели р-адической квантовой механики.
Также много других интересных вопросов предстоит исследовать, так например с помощью колец целых р-адических чисел строятся еще разные числа: полиадические, псевдорациональные, которые тоже образуют кольца. Также важно исследовать модули над такими кольцами.
