Введение 4
1. Электрокинетические эффекты 7
2. Мембранный потенциал 13
3. Модель пространственного заряда 18
3.1. Описание модели 18
3.2. Метод нахождения потенциала 22
3.3. Метод нахождения потока растворителя Jv и потока ионов Jj 26
4. Анализ результатов 29
Заключение 33
Список использованных источников 34
Процессы мембранного разделения смесей широко используются в химической, топливно-энергетической, фармацевтической и пищевой отраслях промышленности. Одним из наиболее важных приложений является опреснение и очистка воды. Большинство промышленно производимых мембран являются полимерными, однако в последнее время все большее внимание уделяется исследованию и применению керамических мембран. По сравнению с полимерными, керамические мембраны отличаются большей механической прочностью, химически и биологически устойчивы, стабильны в широком интервале температур и имеют более продолжительный срок службы [1].
Процессы мембранного разделения основаны на проницаемости одного или нескольких компонентов жидкой либо газовой смеси, а также коллоидной системы через разделительную мембрану. Фаза, прошедшая через нее, называется пермеатом (также фильтратом), задержанная - концентратом. Движущей силой мембранных процессов разделения является разность химических или электрохимических потенциалов по обе стороны перегородки. Мембранные процессы могут быть обусловлены градиентами давления (баромембранные процессы), электрического потенциала (электромембранные процессы), концентрации (диффузионно-мембранные процессы) или комбинацией нескольких факторов [2].
Разделение с помощью мембран - результат взаимодействий компонентов смеси с поверхностью мембраны. Эффективность разделения оценивают такими показателями, как селективность, коэффициент разделения, проницаемость мембран [2].
Вследствие различной скорости прохождения компонентов смеси через мембрану происходит так называемая концентрационная "поляризация", при которой в пограничном слое около поверхности мембраны накапливается вещество, имеющее наименьшую скорость проницания. В результате, при разделении жидких смесей снижаются движущая сила процесса и соответственно селективность, производительность и срок службы мембран. Кроме того, возможно осаждение на мембране труднорастворимых солей, что приводит к необходимости очистки мембран. Для уменьшения влияния концентрационной поляризации и улучшения работы мембран разделяемую систему перемешивают, что способствует выравниванию концентраций компонентов у поверхности мембраны и в ядре потока. При разделении газовых смесей благодаря высоким коэффициентам диффузии компонентов концентрационная поляризация мала и ее можно не учитывать [2].
Другим фактором, оказывающим влияние на мембранные процессы разделения, является продольное (обратное) перемешивание системы. По мере распределения компонентов между исходным потоком и пермеатом возникает соответствующий концентрационный профиль, который приводит к продольному выравниванию концентраций из-за молекулярной диффузии. При использовании турбулизирующих вставок наибольшее воздействие на продольный перенос оказывает конвективная диффузия. Также процессы мембранного разделения могут быть осложнены рядом других факторов. Например, недостаточной стойкостью мембран к агрессивным средам и действию микроорганизмов [2].
Транспорт ионов в растворах происходит под действием градиента электрохимического потенциала. Электрохимический потенциал - мера работы, необходимая для переноса 1 моля ионов из раствора с данной концентрацией и данным электрическим потенциалом в бесконечно удалённую точку в вакууме [3]. Условие локального равновесия на границе между мембраной и раствором (т.е. условие равенства электрохимических потенциалов) приводит к возникновению скачков потенциала на входе и выходе из поры. Разность потенциалов между ионными растворами, разделяемыми мембраной, называется мембранным потенциалом.
Основной целью данной работы является реализация математической модели транспорта ионов в нанопорах мембран и расчет мембранного потенциала.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
- обзор литературы по электрокинетическим эффектам;
- изучение и построение математической модели транспорта ионов через пору на основе уравнений Нернста-Планка, Навье-Стокса и Пуассона;
- программная реализация расчетов на основании модели в системе компьютерной алгебры Maple;
- анализ полученных результатов и описание физических механизмов транспорта ионов
В данной работе была изучена и реализована математическая модель транспорта ионов в нанопорах мембран. На основе данной модели были выполнены расчеты расчета мембранного потенциала при различных значениях параметрах.
В процессе написания алгоритма нахождения мембранного потенциала, были использован ряд математических методы, в том числе метод Рунге- Кутты, методы секущих для уравнений с одной неизвестной и двумя неизвестными. Алгоритм был представлен в виде кода в системе компьютерной алгебры Maple.
В работе проанализированы зависимости мембранного потенциала, построенные на основе решения математической модели. Результаты таковы, что повышение концентрации ионов в левом резервуаре при фиксированном значении концентрации в правом резервуаре приводит к увеличению абсолютной величины мембранного потенциала; увеличение радиуса нанопоры и уменьшение величины поверхностного заряда нанопоры приводят к ослаблению её селективности. Кроме того, изменение концентрации в правом резервуаре в сторону увеличения при фиксированном значении концентрации в левом резервуаре приводит к ослаблению селективности нанопоры за счет уменьшения толщины двойного электрического слоя.
