АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ RQ-СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И НЕНАСТОЙЧИВЫМИ ЗАЯВКАМИ

АННОТАЦИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Исследование RQ-системы М/М/1 с отложенной обратной связью 7
1.1 Математическая модель и постановка задачи 7
1.2 Система уравнений Колмогорова 8
1.3 Характеристическая функция 8
1.4 Численный пример 12
2 Исследование RQ-системы с ненастойчивыми заявками и отложенной
обратной связью 17
2.1 Математическая модель и постановка задачи 17
2.2 Система уравнений Колмогорова 18
2.3 Метод асимптотического анализа в условии высокой интенсивности
потока 19
2.3.1 Численный пример 23
2.4. Метод асимптотического анализа в условии большой задержки 28
2.4.1. Численный пример 32
3 Численный анализ 36
3.1 Область применимости асимптотического анализа 38
3.2 Расчет показателей 38
4 Асимптотический анализ времени прибывания заявок в системе 36
4.1 Метод асимптотического анализа 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 44
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 46

Купить

важных разделов экономике-математическогомоделирования является теория массового обслуживания (ТМО), представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) - системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Такие системы играют существенную роль во многих различных областях производства, бытового обслуживания, техники и т.д. Примером СМО в сфере производства и обслуживания могут служить: различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), ремонтные мастерские, больницы и т.д. [1].
Активные исследования различных систем массового обслуживания (СМО) начались в начале 60-х годов и продолжаются по сей день. Значительный вклад в развитие теории массового обслуживания (ТМО) внесли советские и российские учёные: Гнеденко Б.В. [2,3],
Александров А.М. [4], Башарин Г.П. [5-9], Боровков A.A. [10], Бачаров А.Г. [11, 12], Вишневский [13, 14], Хинчин А.Я. [15], Колмогоров А.Н. [16], Назаров A.A. [17], Дудин А.Н. [18].
Системы массового обслуживания делятся на системы с потерями, очередью, смешанные, но отдельное внимание заслуживают системы с повторными вызовами или RQ-системы (Retrial Queueing System). Особенность этих систем заключается в том, что заявки, не получившие обслуживание из-за занятости всех приборов, не покидают систему окончательно. Вместо этого они переходят в источник повторных вызовов (орбиту) и, спустя случайный интервал времени, вновь предпринимают попытку получить обслуживание. Такие модели находят широкое применение в мобильных сетях, центрах обработки вызовов (call-центрах), а также в различных системах передачи данных.
Наиболее полное и глубокое исследование систем с повторными вызовами приведено в монографиях Artalejo, J. R. [19, 20], Falin G. I. [21, 22]. Также в учебных пособиях [23, 24] представлены исследования в области теории RQ-систем.
Зачастую, по различным причинам, обслуживаемым объектам необходимо наличие обратной связи и возможности возвращения в систему для повторного обслуживания. Повторное обслуживание заявки в системах с обратной связью происходит либо мгновенно, сразу после первичного обслуживания, либо повторно с ожиданием на орбите. В ряде моделей систем массового обслуживания с повторными вызовами рассматриваются так называемые ненастойчивые заявки.
В качестве примера реальной системы, функционирование которой может быть описано RQ-системой с s-настойчивыми заявками и отложенной обратной связью, можно привести колл-центр. Если клиенты звонят в колл-центр и их звонок не может быть обработан (из-за нехватки свободных операторов или других причин), они вынуждены повторно обращаться через некоторое, обычно случайное время. Существует вероятность, что после нескольких неудачных попыток клиент прекратит звонить, однако возможно он попробует связаться снова спустя некоторое время для получения дополнительной информации. Такие особенности поведения систем в ТМО описываются терминами "s-настойчивость заявок" и "обратная связь".
Одним из первых, кто обратил внимание на системы с обратной связью, стал Л. Такач [25, 26]. Однако в дальнейшем исследователи несильно интересовались такого рода системам в течение довольно длительного периода. Только с развитием технических сетей, возникла потребность построения моделей с обратной связью. Исследования системы с обратной связью приведены в научных работах Сергеева А.В. [27], Королюка В.С. [28], а также зарубежных специалистов я [29-32].
Процессы в системах с обратной связью изучают с помощью различных методов: метод производящей функции, матричные методы, численные методы, метод марковского суммирования, допредельный метод.
Отдельное внимание заслуживает метод асимптотического анализа, который позволяет получить аналитические формулы для приближенных расчетов вероятностных распределений в случаях, когда допредельное решение не может быть найдено. Такие методы исследования различных моделей СМО развивались математиками D. Y. Burman и D. R Smith [33], Guillemin F. [34], А.Г. Бочаров [35], А.А. Назаров [36,37]. Суть метода асимптотического анализа Назарова А. А. [36,37] заключается в нахождении предельного решения систем уравнений, определяющих характеристики математической модели, при выполнении некоторого предельного условия. Именно данный метод развивается в представленной работе.
Целью работы является исследование математической модели колл- центра в виде RQ-системы с ненастойчивыми заявками и обратной связью
В соответствии с целью были поставлены и решены задачи:
• Построить математическую модель колл-центра в виде RQ- системы M|M| 1 с ненастойчивыми заявками и обратной связью.
• Применить метод асимптотического анализа в условии большой задержки заявок на орбите для исследования случайного процесса числа заявок в системе.
• Предложить модификацию метода асимптотического анализа в условии высокой интенсивности входящего потока и выполнить исследование им системы.
• Выполнить асимптотический анализ времени ожидания заявок на орбите в исследуемой системе.
• Выполнить численный анализ, определить область
применимости асимптотических результатов.
Для исследования рассмотренных моделей используется методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, метод характеристических функций, метод асимптотического анализа в условии высокой интенсивности входящего потока, метод асимптотического анализа в условии большой задержки.
Купить