ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 6
1.1 Определение предела функции 6
1.2 Понятие производной функции 11
1.3 Геометрический и механический смысл производной 13
1.4 Основные теоремы дифференциального исчисления и правила
дифференцирования 17
1.5 Производные элементарных функций 21
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА 27
2.1 Основные приложения производной. Физический и геометрический
смысл производной 27
2.2 Исследование функции на монотонность 36
2.3 Исследование функции на экстремумы 45
2.4 Наибольшее и наименьшее значение функции 53
2.5 Использование производной функции в заданиях ЕГЭ по физике и
информатике 60
2.6 Методическая разработка факультативного курса «Производная функции
в ЕГЭ» 65
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 69
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71
ПРИЛОЖЕНИЕ 74
Переходя в 10 класс, обучающиеся начинают изучать новый для них раздел математики - «Начала анализа». Математический анализ - ветвь математики, которая оформилась в XVIII веке. Она включает в себя два раздела: дифференциальное и интегральное исчисление. Анализ сыграл огромную роль в развитии науки - появился мощный, универсальный метод исследования функций, который используется при решении разнообразных прикладных задач.
Тему дифференциального исчисления без преувеличения можно назвать самой важной темой курса математики старшей школы. В рамках этой темы рассматривается производная функции, техника
дифференцирования, основные приложения производной.
Применения производных в самых различных разделах математики и многих других науках весьма широки и разнообразны. Однако особенное значение имеет ограниченный круг вопросов, связанных с использованием производных для исследования поведения функций: промежутки
монотонности функции, наибольшие и наименьшие значения, максимумы и минимумы функции.
Актуальность темы выпускной квалификационной работы «Производная функции в задачах ЕГЭ» состоит в том, что в Едином государственном экзамене представлено несколько заданий на применение производной функции. От правильности выполнения заданий зависит количество набранных баллов по предметам («Математика», «Физика»), а, следовательно, и вероятность поступления обучающихся в высшие учебные заведения, а также форма обучения (бюджетная и платная).
На базе МБОУ Матреногезовская СОШ Алексеевского района Белгородской области были собраны данные о результатах Единого государственного экзамена по математике в 2013-2018 учебных годах. Среди 44 выпускников 43 % правильно выполнили задание на исследование поведения функции с помощью производной (задание 7 профильного уровня), и лишь 20 % верно решили задание на наибольшее или наименьшее значение функции (задание 12 профильного уровня). Отсюда можно сделать вывод, что тема «Производная функции в задачах ЕГЭ» имеет практическую значимость.
Цель работы: сформировать алгоритмы для успешного усвоения темы «Производная функции» и применения ее для решения задач Единого государственного экзамена, составить факультативный курс по данной теме.
Объектом исследования является производная функции в курсе математики общеобразовательной школы.
Предмет исследования - задания Единого государственного экзамена с применением производной функции.
Проблема исследования: рассмотрение задач, в которых применяется производная функции, поиск оптимальных решений этих задач.
Для достижения цели работы были поставлены следующие задачи:
• проанализировать учебно-методическую литературу по теме «Производная функции»;
• рассмотреть задания Единого государственного экзамена по математике и другим предметам с применением производной функции;
• разработать алгоритмы оптимального решения данных задач;
• разработать факультативный курс «Производная функции в ЕГЭ».
Методы исследования: анализ школьных учебников и учебно-методической литературы; изучение школьной документации и продуктов деятельности обучающихся; созидательно-преобразующий педагогический эксперимент.
Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения, списка использованной литературы, приложения.
Во введении сформулирована актуальность, поставлены цели и задачи выпускной квалификационной работы, определены объект, предмет, проблема и методы исследования.
В первой главе рассмотрена основная теория по теме, приведены таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования, а также их доказательства.
Во второй главе разработаны алгоритмы решения проблемы, накоплена система заданий по теме, составлен факультативный курс.
В заключении подводятся итоги проделанной работы.
Производная функции является универсальным и мощнейшим аппаратом исследования, применения производных в самых различных разделах математики и многих других науках весьма широки и разнообразны, поэтому данная тема занимает важнейшее место в курсе школьной математики. Задачи на применение производной встречаются в Едином государственном экзамене по математике, физике, информатике.
В ходе анализа учебно-методической литературы было рассмотрено содержание учебников по теме «Производная функции». В результате этого были проведены систематизация и обобщение теоретического материала, который послужил основой для составления алгоритмов решения задач, встречаемых в Едином государственном экзамене. В теоретической части были рассмотрены определения, правила дифференцирования, теоремы, связанные с производной в школьном курсе математики, составлена таблица производных элементарных функций.
Выпускная квалификационная работа содержит полезный и актуальный материал для практического применения. В практической части были рассмотрены задания из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ, составлены подробные алгоритмы их решения, а также разработан факультативный курс «Производная функции в ЕГЭ», в котором представлена система экзаменационных задач. По итогам проведенной работы можно сделать вывод о том, что все задачи выполнены.
Цель выпускной квалификационной работы, сформулированная следующим образом: сформировать алгоритмы для успешного усвоения темы «Производная функции» и применения ее для решения задач Единого государственного экзамена, составить факультативный курс по данной теме , была достигнута.
Данная работа имеет практическую значимость: она может быть использована в школах, гимназиях или лицеях с углубленным изучением математики, а также в средних общеобразовательных учреждениях в качестве методического пособия для учителей при подготовке школьников к Единому государственному экзамену по профильной математике, в работе с обучающимися на уроках и факультативах.
