ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ 5
1.1. Понятие производной и ее свойства 5
1.2. Применение производной в анализе функций 15
1.3. Историко-математическое развитие метода производной 21
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 27
2.1. Уравнение касательной и нормали. 27
2.2. Максимумы и минимумы геометрических характеристик 32
2.3. Задача о наибольшей площади вписанного многоугольника 37
2.4. Апробация по методике решения геометрических задач с помощью производной 51
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 62
ПРИЛОЖЕНИЕ 65
Актуальность исследования. Геометрия занимает особое место среди учебных предметов школьного курса математики. Она развивает пространственное мышление, умение анализировать и строить логически обоснованные рассуждения. Одним из эффективных инструментов для решения многих геометрических задач является аппарат производной, позволяющий существенно упростить решение ряда важных практических вопросов. [3]
Целью данной работы заключается в изучении методики решения геометрических задач с помощью производной. [6]
Задачи исследования:
− Проанализировать понятие производной и её роль в математике [7];
−Исследовать применение производной в различных областях геометрии;
−Рассмотреть конкретные примеры решения геометрических задач с использованием производной;
−Провести сравнительный анализ традиционной и предлагаемой методики.
Объект исследования: Методика решения геометрических задач с помощью производной.
Предмет исследования: Эффективность применения производной в обучении школьников решению геометрических задач.
Гипотеза: Использование производной упрощает и ускоряет решение геометрических задач, способствуя лучшему пониманию материала учащимися.
Практическая значимость: Результаты исследования могут быть использованы учителями математики старших классов для разработки уроков и факультативных занятий, направленных на формирование у учащихся умений решать геометрические задачи с помощью производной [17].
Разработанные методические рекомендации могут быть внедрены в практику работы общеобразовательных учреждений.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Первая глава посвящена теоретической части, освещающей общие сведения о производной и истории её появления. [4] Вторая глава представляет собой практическую часть, включающую примеры решения конкретных геометрических задач с помощью производной.
В результате выпускной квалификационной работы было осуществлено комплексное изучение методики решения геометрических задач с помощью производной, что позволяет сформулировать следующие выводы.
Основы производной в геометрии представляют собой фундамент, на котором строятся более сложные понятия. Производная функции в точке показывает, как быстро изменяется значение функции при изменении независимой переменной. Это изменение можно интерпретировать как наклон касательной к графику функции в данной точке. Таким образом, производная становится мощным инструментом для анализа функций, позволяя не только находить скорость изменения, но и выявлять важные характеристики графиков, такие как экстремумы и точки перегиба.
Решение задач на определение экстремумов является одним из наиболее ярких применений производной в геометрии. Экстремумы функций, то есть максимумы и минимумы, играют ключевую роль в различных областях, от экономики до физики. Мы рассмотрели алгоритм нахождения экстремумов, который включает в себя нахождение производной функции, решение уравнения производной на ноль и анализ изменений знака производной. Этот процесс позволяет не только находить точки, в которых функция достигает своих наибольших и наименьших значений, но и понимать, как функция ведет себя в окрестности этих точек. Например, если производная меняет знак с положительного на отрицательное, это указывает на наличие максимума, тогда как изменение знака с отрицательного на положительный свидетельствует о наличии минимума. [17] Этот анализ является важным инструментом в оптимизации и других областях, где необходимо находить наилучшие решения.
Исследование кривых на выпуклость и вогнутость также является важной частью применения производной в геометрии. Понятия выпуклости и вогнутости помогают понять, как функция изменяется не только в точках экстремума, но и на всем своем протяжении. Для этого мы использовали вторую производную. Если вторая производная положительна на интервале, то функция выпукла вверх, и наоборот, если вторая производная отрицательна, то функция вогнута вниз. Эти характеристики имеют огромное значение, например, в экономике, где они могут помочь в анализе кривых спроса и предложения, а также в физике, где они могут быть использованы для анализа траекторий движения тел.
Таким образом, методика решения геометрических задач с помощью производной является мощным инструментом, который позволяет не только решать конкретные задачи, но и развивать интуицию и понимание поведения функций. В ходе работы мы увидели, как производная помогает выявлять важные свойства функций, что в свою очередь помогает в более глубоком понимании математических и физических явлений. Это знание может быть применено в самых разных областях, от инженерии до экономики, что подчеркивает его универсальность и важность.
Кроме того, изучение производной в контексте геометрии открывает новые горизонты для дальнейшего изучения и исследований. Например, можно углубиться в темы, связанные с многомерными функциями и их производными, что приведет к более сложным и интересным задачам. Также можно рассмотреть применение производной в более высоких областях математики, таких как анализ, дифференциальные уравнения и математическая физика. Это подчеркивает, что изучение производной — это не только изучение конкретных техник решения задач, но и развитие более широкого математического мышления.
В заключение, методика решения геометрических задач с помощью производной является важным инструментом в арсенале математика. Она позволяет не только находить решения конкретных задач, но и развивать более глубокое понимание свойств функций и их графиков. Мы увидели, как производная помогает в анализе экстремумов, исследовании кривых на выпуклость и вогнутость, а также в других аспектах геометрии. Эти знания имеют практическое применение в различных областях науки и техники, что подчеркивает важность изучения производной как в образовательном процессе, так и в профессиональной деятельности. Надеюсь, что данная работа
послужит полезным ресурсом для студентов и преподавателей, стремящихся углубить свои знания в области математики и ее применения в геометрии.
