Введение 3
Основная часть 6
1. Свойства слойно конечных и почти слойно конечных примарных групп 6
2. Свойства слойно конечных и почти слойно конечных групп с конечными
силовскими подгруппами 8
3. Свойства произвольных слойно конечных и почти слойно конечных групп 10
4. Новые свойства слойно конечных групп, аналогичные результатам по
почти слойно конечным группам 15
5. Необходимые определения 17
Заключение 19
Список использованных источников 20
Цель работы заключается в том, чтобы найти, по возможности, все результаты по слойно конечным и по почти слойно конечным группам, провести сравнительный анализ найденных результатов, доказать новые свойства слойно конечных групп, аналогичные результатам по почти слойно конечным группам, привести примеры почти слойно конечных групп.
С. Н. Черников в своей статье [1] ввел и начал изучать класс слойно конечных групп. Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного порядка конечно. Примером слойно конечной группы является прямое произведение циклических групп по разным простым порядкам. Слойно конечные группы оказались наиболее изученными среди групп с конечными классами сопряженных элементов. В почти слойно конечных группах классы сопряженных элементов не обязаны быть конечными.
Слойно конечные группы начали изучаться С. Н. Черниковым в связи с изучением групп с условием минимальности в случае, когда конечен индекс центра группы [2]. В этом случае в группе конечно множество элементов каждого порядка. Основой результат, описывающий строение слойно конечных групп был получен С. Н. Черниковым в 1948 г. в работе [3]. В нем говорится, что группа тогда и только тогда слойно конечна, когда ее можно представить в виде произведения двух поэлементно перестановочных подгрупп, из которых первая является слойно конечной абелевой группой, а вторая слойно конечной группой с конечными силовскими подгруппами. Почти слойно конечные группы не обязаны удовлетворять условию минимальности, но близки по свойствам к таким группам.
Напомним, что почти слойно конечная группа - группа, являющаяся расширением слойно конечной группы при помощи конечной группы.
Примером почти слойно конечной группы является расширение прямого произведения квазициклической группы при помощи конечной группы.
Остановимся более подробно на содержании дипломной работы.
В разделе 1 собраны свойства слойно конечных и почти слойно конечных примарных групп. Например, С. Н. Черников доказал, что слойно конечные группы обладают такими свойствами как: бесконечная слойно конечная р-группа G имеет такую подгруппу конечного индекса, которая содержится в ее центре и разлагается в прямое произведение конечного числа квазициклических групп. Я. Д. Половицкий доказал [4], что примарная группа тогда и только тогда слойно конечна, когда она является черниковской и её полная часть содержится в центре группы. X. X. Мухаммеджан установил, что слойно конечные р-группы и только они являются нильпотентными черниковскими р-группами. Р. Бэр охарактеризовал слойно конечные группы в классе примарных групп [11]: р-группа G слойно конечна тогда и только тогда, когда Z(G) слойно конечен и фактор-группа G/Z(G) конечна.
B. И. Сенатов доказал, что почти слойно конечная р-группа является черниковской [6].
В разделе 2 собраны свойства слойно конечных и почти слойно конечных групп с конечными силовскими подгруппами. Например,C.Н. Черников доказал для слойно конечных групп с конечными силовскими подгруппами, что тонкие слойно конечные группы - это в точности локально нормальные группы, все силовские подгруппы которых конечны [3]. В. И. Сенатов доказал, что почти слойно конечную группу можно представить в виде произведения полной абелевой слойно конечной группы и почти слойно конечной группы [6].
В разделе 3 собраны свойства произвольных слойно конечных и почти слойно конечных групп. Например, С. Н. Черников доказал, что группа G тогда и только тогда слойно-конечна, когда ее центр содержит такую полную слойно-конечную подгруппу R, что фактор-группа G/R - тонкая слойно- конечная группа [2]. Я. Д. Половицкий доказал, что периодическая группа G тогда и только тогда слойно конечна, когда для любого рEп(G) множество всех ее p-элементов порождает черниковскую подгруппу, полная часть которой находится в ее центре и являетсяр-группой [5]. В. И. Сенатов доказал, что класс почти слойно конечных групп совпадает с классом почти локально нормальных групп с силовскими подгруппами, удовлетворяющими условию минимальности [6].
В бакалаврской работе мы приводим примеры почти слойно конечных групп для иллюстрации результатов.
В разделе 4 установлены и доказаны с научным руководителем новые свойства слойно конечных групп. В этом пункте доказаны 4 новых свойства. Мы доказали, что:
• нечерниковская слойно конечная группа обладает бесконечным множеством простых делителей порядков ее элементов;
• класс слойно конечных групп замкнут относительно прямых произведений конечного числа групп и не замкнут относительно конечных расширений;
• класс слойно конечных групп не замкнут относительно объединений групп;
• слойно конечная группа локально нормальна.
В разделе 5 собраны необходимые определения для более удобного чтения дипломной работы.
В работе получены следующие результаты:
1. найдены результаты по слойно конечным и по почти слойно конечным группам;
2. проведен сравнительный анализ найденных результатов;
3. доказаны новые свойства слойно конечных групп, аналогичные результатам по почти слойно конечным группам;
4. приведены примеры почти слойно конечных групп.
Результаты бакалаврской работы доложены в 2016 году на Международной конференции «Молодежь и наука: Проспект Свободный- 2016» в СФУ и в 2017 году на III Международной научно -практической конференции «Актуальные проблемы авиации и космонавтики», посвященной Дню космонавтики в СибГАУ.
