Тема: ПРИМЕНЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И РЕШЕНИЯ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Сингулярное разложение показывает геометрическую структуру матрицы и позволяет наглядно представить имеющиеся данные. Сингулярное разложение используется при решении самых разных задач — от приближения методом наименьших квадратов и решения систем уравнений до сжатия и распознавания изображений.
Сингулярное разложение было первоначально разработано в дифференциальной геометрии при изучении свойств билинейных форм учеными Эудженио Бельтрами и Жорданом Камилем в 1873 и 1874 годах [1].
Джеймс Джозеф Сильвестр пришел к понятию сингулярного разложения для квадратных матриц в 1889 году и, вероятно, также независимо от Эудженио Бельтрами и Жордана Камиля. Сильвестр называл сингулярные значения кано-ническими множителями матрицы. Первое доказательство сингулярного разложения для прямоугольных и комплексных матриц было осуществлено мате-матиками Карлом Эскартом и Гейлом Янгом в 1936 году.
В 1907 году Эрхард Шмидт определил аналог сингулярного разложения для интегральных операторов, не зная о том, что параллельно ведется работа над сингулярным разложением для конечномерных матриц. Его теория была дальше развита математиком Эмилем Пикаром в 1910 году. Именно Пикар первым назвал сгп сингулярными значениями.
Практические методы вычисления SVD-разложения восходят к работам Ерванда Когбетлянца в 1954, 1955 и Дэвида Хестенса в 1958 г., алгоритм которых сильно напоминает метод вращения Якоби для вычисления собственных значений с использованием поворотов Гивенса. Однако этот алгоритм был заменен методом, разработанным математиками Джином Голубом и Уильямом Кэхэном в 1965 г., который использует преобразования Хаусхолдера [2,190]. В 1970 году Джин Голуб и Кристиан Рейнш опубликовали вариант алгоритма Голуба-Кэхэна, который до сих пор является одним из самых используемых.
В данной работе речь пойдет о вычислении сингулярного разложения матриц [2-4], а именно как и для чего вычисляется сингулярное разложение, а так-же области его применения - это нахождение ранга матрицы, определителя матрицы, чисел обусловленности, общих решений однородных систем, для решения произвольной СЛАУ, нахождения псевдообратных матриц.
Рассматривается перспективный метод для точного решения почти сингулярных систем линейных уравнений. В методе используется усеченная сингулярная декомпозиция [2, 8]. Этот метод не требует дополнительных сведений о свойствах матрицы. Также рассматриваются алгоритмы сингулярного разложения матриц, которые используются для практического вычисления, свойства сингулярного разложения.
На примерах систем линейных уравнений с матрицами, близких к сингулярным, показано, как применяется SVD. В качестве примеров используются системы с Гильбертовой матрицей [6,10], проведены исследования с помощью процедур SVD и исключения Гаусса, данный численный опыт показал хорошую точность предлагаемой схемы решения. Также на примере сжатия изображения показано, что SVD - удобный способ для сжатия изображения с мини¬мальной потерей информации, поскольку показана возможность существенного сокращения требуемого объема памяти для хранения изображений без существенной потери качества их представления.
Цели:
1) Изучить основные понятия сингулярного разложения (SVD).
2) Применить SVD для сжатия изображений и показать, что это SVD- разложение является эффективным способом для сжатия изображений с минимальной потерей информации.
3) На примерах систем линейных уравнений с матрицами, близких к сингулярным, показать, как применяется усеченное сингулярное разложение для решения таких линейных систем.

Купить

В данной работе были рассмотрены SVD - разложение, сингулярные числа, сингулярные векторы. Изучены теоремы и свойства сингулярного разложения, а также области применения S VD на практике.
На примере изображений, полученных в результате магнитно-резонансной томографии и фотографии Главного корпуса ТГУ, показана возможность существенного сжатия этих изображений с помощью сингулярного разложения (уменьшение размера изображения в байтах) без потери качества при исключении малозначимых компонент. Проведен анализ полученных данных для изображений и сделан вывод, что эффективность алгоритма значительно выше в том случае, если на картинке не преобладают мелкие элементы.
Приведены результаты решения плохо обусловленной системы линейных уравнений с Гильбертовой матрицей порядка 8 и 10 (число обусловленности 1О10 и 1013, соответственно), с помощью аналитического решения, полученного в пакете Wolfram Mathematica, исключения Гаусса, SVD, TSVD [6]. Сделан вывод, что для данного примера наиболее лучшим является TSVD, поскольку ближе к аналитическому решению является результат, полученный с помощью TSVD [6], чем выше порядок матрицы, тем она хуже обусловлена и каждый метод стал больше отклоняться от точного решения, как раз это продемонстрировано в таблицах 3-4.

Купить