ВВЕДЕНИЕ 3
1. ИССЛЕДОВАНИЕ ХЁРСТА В ЕГИПТЕ 5
1.1. История наблюдений за уровнями реки Нил 5
1.2. Теория Хёрста 7
1.3. Современный взгляд на теорию Херста и ее развитие 11
2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХЁРСТА ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА С НЕЗАВИСИМЫМИ СЕЧЕНИЯМИ («БЕЛОГО ШУМА») .... 15
2.1. Формула Херста для «белого шума» 15
2.2. Проверка формул Херста с использованием искусственных
гидрологических рядов 16
3. ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЯ ХЁРСТА ДЛЯ РЯДОВ
МАКСИМАЛЬНЫХ РАСХОДОВ ВЕСЕННЕГО ПОЛОВОДЬЯ РЕК СЕВЕРО-ЗАПАДА РФ 21
3.1. Краткая физико-географическая и климатическая характеристика
района исследований 21
3.2. Общая характеристика водного режима рек Северо-Запада РФ . 28
3.3. Расчет показателя Хёрста для рек Северо-Запада РФ 30
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ХЕРСТА ПО ФРАГМЕНТАМ
РЯДА МИНИМАЛЬНЫХ УРОВНЕЙ РЕКИ НИЛ 34
4.1. Формирование из исходного ряда выборок различной длины .... 34
4.2. Расчет показателя Херста для минимальных уровней реки Нил . 35
4.3. Использование модели авторегрессии для описания минимальных
уровней реки Нил 37
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 41
ПРИЛОЖЕНИЯ
В последние годы для описания вероятностной структуры гидрологических рядов стали использовать так называемый показатель Хёрста, названный в честь британского гидролога Гарольда Эдвина Хёрста (1880-1978).
Хёрст долгие годы работал в Египте, где изучал водный режим реки Нил и получил прозвище Абу-Нил («отец Нила»). Он установил, что многие природные ряды не могут быть описаны в рамках модели случайного процесса с независимыми сечениями («белого шума») и их следует описывать моделями с долговременной или даже бесконечной памятью.
В настоящее время теория Хёрста нашла широкое применение при анализе финансовых рынков. Использовать этот подход в гидрологии следует с осторожностью, так как в большинстве случаев длина гидрологических рядов не превышает 100 лет, что не позволяет объективно доказать правомерность применения этой модели.
В настоящей работе:
1. Выполнен анализ показателя Хёрста для рядов, соответствующих модели «белого шума» с использованием искусственно смоделированных рядов различной продолжительности.
2. Рассчитаны показатели Хёрста рядов максимальных расходов рек Северо- Запада РФ и для ряда минимальных уровней реки Нил. При этом ряд минимальных уровней Нила разбивался на отдельные выборки различной продолжительности.
Работа состоит из 4 глав введения и заключения.
В первой главе описана история наблюдений за уровнями на реке Нил, излагаются основные положения теории Хёрста, показан современный взгляд на теорию Херста и ее развитие.
Во второй главе исследовались формулы, рекомендуемые для расчета показателя Хёрста для рядов типа «белого шума». В частности исследовались формула Хёрста и формула Эниса и Ллойда. Для проверки формул методом Монте-Карло моделировались искусственные ряды различной продолжительности.
В третьей главе был выполнен расчет показателей Хёрста для рядов максимальных расходов весеннего половодья рек Северо-Запада России. Выполнена проверка допустимости использования для расчета максимальных расходов воды модели случайной величины.
В четвертой главе исследовался 600-летний ряд минимальных уровней реки Нил. По этому ряду получены зависимости показателя Хёрста от длины выборки. Исследована статистическая структура этого ряда.
В Заключении представлены основные результаты проведенного исследования.
Работа содержит 17 рисунков, 6 таблиц, 2 приложения и список использованных источников из 30 наименований. Общий объем работы 50 страниц.
Результаты работы
Методом Монте-Карло были смоделированы в общей сложности 2400 искусственных рядов продолжительностью от 10 до 200 лет. В качестве базового распределения использовалось двухпараметрическое Г-распределение. Ряды моделировались для исследования зависимости показателя Хёрста от длины ряда для случайного процесса с независимыми сечениями («белого шума»).
Для 50 рядов максимальных расходов весеннего половодья рек Северо- Запада Росси рассчитан показатель Хёрста и обоснована модель для описания вероятностной структуры этих рядов.
Выполнен анализ шестисотлетнего ряда минимальных уровней реки Нил. Рассчитаны его статистические характеристики и показатель Хёрста. За счет деления этого ряда на выборки различной длины проведено исследование зависимости показателя Хёрста от длины ряда.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.
1. Для случайных независимых выборок среднее значение показателя Хёрста следует оценивать по формуле Эниса и Ллойда с поправкой Петерса в зависимости от длины ряда. Поправку Петерса можно скорректировать и вместо (n-0,5)/n использовать формулу (n-1)/n, что дает лучшую сходимость для коротких выборок.
2. По отдельным выборкам значение показателя Хёрста может заметно отклоняться от среднего значения, рассчитанного по формуле. При этом выборочные значения показателя Хёрста распределены асимптотически нормально.
3. Стандартную ошибку показателя Хёрста для рядов продолжительностью до 200 лет можно рассчитать по эмпирической формуле:
ан = 14N'.
4. Показатели Хёрста для рядов максимальных расходов весеннего половодья не имеют значимого отличия от показателей Хёрста «белого шума». И, следовательно, для рядов максимальных расходов весеннего половодья рек Северо-Запада РФ (при n < 150) вполне допустимо использовать модель случайной величины. При этом нужно отметить, что эмпирические точки, хотя и не выходят за пределы 95 %-ного доверительного интервала, эмпирическое среднее значение показателя Хёрста для Qmax на 6% выше теоретического значения «белого шума».
5. Ряд минимальных расходов реки Нил не может быть описан в рамках модели «белого шума». Как показал анализ, этот ряд имеет значимые коэффициенты регрессии для моделей АР(1), АР(2), АР(3) и АР(4). То есть он действительно обладает долговременной, хотя и не бесконечной памятью.
