Введение 3
1 Теоретические основы исследования 5
1.1 Основные понятия и определения 5
1.2 Природные и алгебраические фракталы 7
2 Методы определения размерностей геометрических фракталов.... 10
2.1 Метод, основанный на формуле Мандельброта 10
2.2 Канторовский метод 12
3 Формирование базы данных для исследования 16
4 Результаты определения фрактальных размерностей гидрографов
рек и их анализ 34
Заключение 44
Список использованных источников
Множество процессов, явлений и объектов на поверхности Земли обладают сильно выраженной изогнутостью, искривленностью и
изломанностью. Фрактальная геометрия занимается моделированием этих закономерностей. Нужно уметь применять на практике навыки решения задач методами фрактальной геометрии и моделировать фрактальные системы, необходимые исследователю. Геометрия объектов, которая встречается в природе бывает различна, как атомные масштабы, так и целые Вселенные занимают главное место в моделях, которые строят, чтобы «понять» природу. Бенуа Мандельброт рассказал миру о том, что для описания объектов необходимо ввести дробноразмерные, нецелочисленные пространства .
Тема достаточно актуальна, так как с помощью фрактальной геометрии можно описывать поверхности сложной формы, а если изменить несколько коэффициентов в уравнении, то добиться бесконечных вариантов исходного изображения. Используя фракталы для создания сложных реальных систем, можно решить огромное количество задач по исследованию и прогнозированию их поведения. В физике фракталы возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, пламя, облака .
Фракталы имеют не только полезное применение в науках, они невероятно красивы и с помощью некоторых функций можно получить сложные и удивительные формы. Если попробовать поэксперементирывать, превращая, например, треугольники в снежинки, то можно наблюдать как будет преобразовываться простой казалось бы предмет в прекрасную композицию.
Так же в наше время фракталы востребованы в мире компьютерных игр. Создатели графических проектов обращаются к фрактальному способу построения изображений, чтобы повысить реалистичность создаваемых ими миров.
В связи с вышеизложенным, целью данного исследования является изучение и фрактальная диагностика типовых гидрографов и гидрографов за отдельные годы различного генетического происхождения, т. е. определение фрактальной размерности гидрографов, как геометрических объектов.
Для достижения цели исследования необходимо решить следующие задачи:
а) изучить определения понятия «фрактал», существующие в научной литературе и проанализировать его с математической точки зрения;
б) выделить основные виды фракталов и дать описание им;
в) разобрать методы вычисления фрактальной размерности для природных объектов;
г) решить поставленные задачи методами фрактальной геометрии;
д) выявить и исследовать фрактальную размерность гидрографов.
В работе был проведен анализ фракталов с математической точки зрения, а так же были разобраны методы вычисления фрактальной размерности гидрографов речного стока клеточным способом и способом измерения размерности с помощью циркуля.
За основу вычисления фрактальной размерности взят клеточный способ, расчет с использованием раствора циркуля выполнялся для сравнения полученных значений с предыдущим способом. Результаты, полученные в ходе исследования, могут применяться в практических целях для описания сложных форм поверхности природных объектов и, вероятно, для прогнозирования их поведения.
В ходе выполнения исследования были получены следующие результаты.
а) Вычислены значения фрактальной размерности годовых гидрографов речного стока методом подсчета клеток, а так же значения типовых гидрографов клеточным способом и способом измерения размерности при помощи обхода линии циркулем.
б) Проведена сравнительная характеристика расчетных значений, полученных в ходе работы. Для типового гидрографа рек Северо-Запада фрактальная размерность равна 1,17 методом подсчета клеток и 1,08 измерением циркулем, разница составляет 0,09. Значения типового гидрографа реки Печора меньше, чем у предыдущего гидрографа: 1,11 - первым методом и вторым - 1,05 с разностью между ними 0,06. Типовой гидрограф реки Обь имеет значение равные 1,05 и 1,01, с разницей между ними 0,04, которая гораздо меньше, чем у гидрографа рек Северо-Запада. Река Енисей по двум методам имеет одинаковую фрактальную размерность, равную 1,09. У гидрографа реки Лена размерность составляет 1,17 первым клеточным способом измерения и 1,06 вторым. И, наконец, река Амур, измерения которой по двум методам схожи и составляют 1,08 и 1,07.
Таким образом, сравнивая размерности типовых гидрографов речного стока с различным режимом питания рек, наибольшие значения имеют типовой гидрограф рек Северо-Запада и типовой гидрограф реки Лена. Это объясняется тем, что этих реки имеют более изогнутую, изломанную форму русла, а гидрографы рек, у которых наименьшее значение фрактальной размерности, в реальности менее изогнуты и искривлены.
Наиболее схожи результаты получились у гидрографов рек, таких как Енисей и Амур. Значения по методу подсчета клеток соответствуют значениям измерения размерности с помощью циркуля. Большую разницу между значениями способов некоторых типовых гидрографов, можно оправдать погрешностью, которая возникает при подсчете количества клеток, через которые проходит исследуемая для расчета линия, и при подсчете количества шагов раствора циркуля по этой же линии.
Так же у гидрографов со снеговым режимом питания рек фрактальная размерность больше, чем у гидрографов рек с дождевым питанием.
