Введение 3
1. Многоуровневая глобальная спектральная модель 6
1.1 Введение в спектральный 6
метод
1.2 Аппроксимация функций в спектральных 6
моделях
1.3 Ошибки ложного представления и максимальное количество
коэффициентов 10
разложения
1.4 Метод спектрально-сеточного 11
преобразования
2. Расчёт коэффициентов взаимодействия 18
2.1 Коэффициенты Клебша-Гордана 22
3. Негеострофическая баротропная модель (модель «Мелкой
воды»). Спектральная 53
аппроксимация
3.1 Приближения «Мелкой воды» 53
3.2 Аппроксимация модели «Мелкой воды» рядами 54
3.3 Коэффициент взаимодействия 72
4. Формулировка гидродинамической спектральной модели
«мелкой воды» уд
5. Анализ результатов 84
Заключение 90
Список использованных источников 91
В современном мире точный прогноз погоды очень важен. Начиная с безопасности полетов воздушных судов, заканчивая выбором одежды. Предсказывать погодные условия пытались все народы во все времена. Изначально основываясь многолетнем наблюдении за погодными явлениями и поведением птиц и животных.
Делая выводы по этим наблюдениям, человечество находило закономерности и зависимости погодных явлений от поведения животных. Таким способом в IV веке до нашей эры Аристотелем был создан первый научный трактат о погоде «Метеорологика». С научно-техническим развитием человечества за две тысячи лет появились новые методы и способы прогноза погоды, которые значительно усовершенствовались со временем: синоптический, физико-статистический и гидродинамический. В данной выпускной квалификационной работе магистра будет разрабатываться прогноз погоды, основанный на гидродинамическом методе прогноза. Данный метод основан на математическом моделировании процессов в атмосфере. За основу данной математической модели взяты уравнения гидродинамики атмосферы.
Система уравнений гидродинамики атмосферы при описании крупномасштабных атмосферных потоков является трёхмерной и включают в себя зависимость от двух горизонтальных координат и одной вертикальной. Многие из физических свойств атмосферных процессов, а также математических и вычислительных аспектов их описания можно исследовать, используя более простую двухмерную систему уравнений, в которой не рассматривается зависимость полей метеорологических величин от вертикальной координаты. Эти двухмерные уравнения описывают поведение вращающейся, однородной, несжимаемой и гидростатической жидкости, ограниченной сверху свободной поверхностью. Эта система уравнений является системой баротропных негеострофических уравнений и называется системой уравнений «мелкой воды».
Уравнения мелкой воды способны создать полезную основу для анализа динамики крупномасштабных атмосферных потоков (например, процесс геострофического приспособления), а также анализ современных численных методов, которые будут применены к решению бароклинных трёхмерных уравнений гидродинамики атмосферы.
Актуальной данный выпускной работы обусловлена незаменимым статусом спектральных методов в глобальном численном моделировании. Методы коэффициентов взаимодействия способны описывать нелинейные взаимодействия волн. А баротропная негеострофическая модель хорошо анализирует динамику крупномасштабных процессов...
Целью данной выпускной квалификационной работы магистра было построение гидродинамической модели прогноза погоды с использованием спектральных методов и методов коэффициентов взаимодействия, а так же изучение преимущества их использования. Для достижения этой цели были решены следующие задачи.
Задачи:
1) Изучены особенности построения современных гидродинамических спектральных моделей атмосферы.
2) Создан алгоритм расчета базисных сферических функций.
3) Создан алгоритм разложения полей метеорологических величин в ряд по сферическим функциям. Определить оптимальное количество членов разложения.
4) Создан алгоритм прогноза по уравнениям баротропной негеострофической модели атмосферы.
5) Создан программный комплекс по моделированию полей метеорологических величин спектральными методами.
6) Проведены численные эксперименты с использованием разработанных моделей и проанализировать их результаты.
На основе проведенных исследований можно сделать выводы:
1) Спектральные методы хорошо подходят для глобального численного моделирования, так как они решают проблемы, вызванные сферической геометрией Земли.
2) В отличие от метода сеток и псевдо-спектрального метода в ходе прогноза не появляется завышение значений, называемое нелинейная вычислительная неустойчивость. Это достигнуто благодаря использованию метода коэффициентов взаимодействия успешно описывает нелинейное взаимодействие волн.
