Введение 3
1 Определения и предварительные результаты 5
2 Линейные группы над кольцом целых гауссовых чисел 8
3 Линейные группы над полем из девяти элементов 41
Заключение 63
Список литературы 64
Группы, порожденные тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть (2 х 2, ^^-порожденными. Очевидно, из (2 х 2, 2)-порождаемости какой-то группы следует (2 х 2, 2)-порождаемость любого ее неединичного гомоморфного образа, при этом мы не исключаем того, что две или все три инволюции совпадают. В работе [21] доказана (2 х 2, 2)-порождаемость некоторых классических групп над определенными d-порожденными областями целостности достаточно большой размерности п, зависящей от параметра d,в частности, доказана (2 х 2, 2)-порождаемость специальной линейной группы SLn(Z+ iZ) над кольцом целых гауссовых чисел Z + iZ при п >14. В работах [16] и [5] установлена (2 х 2, 2)-порождаемость проективной специальной линейной группы PSLn(Z+ iZ) над кольцом целых гауссовых чисел Z + iZ при п >8 и соответственно при п = 7. Доказательство в [16,5] состояло в том, что порождающие тройки указывались в явном виде, более того, при п = 4k+ 2 они выбирались из специальной линейной группы SLn(Z+ iZ). Следовательно, для таких размерностей справедлив более сильный результат. При п >7 и п = 4k + 2 группа SLn(Z+ iZ) является (2 х 2, 2)-порожденной. Поэтому в силу работ [21,16,5] ответ о (2 х 2, 2)-порожденности групп SLnи PSLnнад кольцом Z + iZ не был известен к 2010 году только при п = 3,4, 5,6,10 для SLnи только при п = 2,3, 4, 5, 6 для PSLn.В данной выпускной работе рассматриваются оставшиеся малые размерности.
Я. Н. Нужин в 1999 г. записал в Коуровскую тетрадь следующий вопрос [17, вопрос 14.69] Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.
а) Произведение порождающих инволюций равно 1.
б) Все порождающие инволюции сопряжены (Малле-Саксл-Вайгель).
в) Выполняются одновременно свойства а), б) (Малле-Саксл-Вайгель).
г) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.
Вопросы б) и в) впервые были сформулированы в работе Г. Малле, Дж. Саксла и Т. Вайгеля [18].
Для конечной группы G, порожденной инволюциями (элементами порядка 2), обозначим через nc(G) минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1.
В 2009 г. Дж. М. Уорд [22] решил вопрос в) для спорадических, знакопеременных и проективных специальных линейных групп PSLn(q)над полем нечетного порядка q, исключая случай q = 9 при n > 4, а при n= 6 и случай q = 3(mod4).В 2021 г. И. Ю. Ефимов и Я. Н. Нужин [2] сняли ограничение q = 9 для n = 4, 5, 7,8. Автором ограничение q = 9 снимается для размерностей n >9 и для размерности n = 6. Во всех этих случаях оказалось, что порождающие пятерки сопряженных инволюций, произведение которых равно единице, указанные в [22], годятся и при q = 9.
Установлено, что следующие группы порождаются тремя инволюциями:
PSL2(Z+ iZ); SL3(Z+ iZ); SL^(Z + iZ), следующие группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны:
SL5(Z + iZ), PSL6(Z+ iZ), SLW(Z + iZ), а следующие группы порождаются пятью сопряженными инволюциями, произведение которых равно единице:
PSL6(9), SLn(9),n>8.
Основные результаты содержатся в [23]-[29].
Результаты бакалаврской работы докладывались и обсуждались на заседании красноярского алгебраического семинара (2022 г.) и апробировались на коференциях
1-4. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Проспект Свободный» (в 2020, 2021, 2022 и 2023 гг.)
5-6. Международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 20-24 сентября 2021 г., 14-19 ноября 2022 г.)
7. XIV международная школа конференция по теории групп, посвященная памяти В. А. Белоногова, В. А. Ведерникова, Л. А. Шеметкова (5-11 сентября 2022 г.)
Сказанное наводит на мысль о нескольких областях, в которых следует продолжить это исследование:
1. определить, порождается ли группа SL6(Z+ iZ) тремя инволюциями;
2. найти минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно единице, для групп PSL6(q), где q= 3(mod4).
