Введение 3
1 Обозначения и терминология 5
2 Применение теоремы Скотта 8
3 Группа А8 11
4 Группа PSp4(2n} 14
Заключение 21
Список использованных источников 22
Приложение 24
Вопрос о минимальном количестве и порядках порождающих элементов группы постоянно вызывал большой интерес и изучался для разнообразных классов групп: конечных и бесконечных, абстрактных, групп подстановок, матричных групп и других. Порождающие тройки инволюций конечных групп используются при нахождении гамильтоновых циклов в графах Кели и при описании групп автоморфизмов карт.
Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами. Например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами. В обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств.
В 1999 году Я. Н. Нужин записал в Коуровскую тетрадь следующий вопрос [1, вопрос 14.69].
Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев:
а) Произведение порождающих инволюций равно 1;
б) (Малле-Саксл-Вайгель). Все порождающие инволюции сопряжены;
в) (Малле-Саксл-Вайгель). Выполняются одновременно свойства а) и б);
г) Все порождающие инволюции сопряжены, и две из них перестановочны;
Целью бакалаврской работы является решение вопроса 14.69 для некоторых групп.
Для исследования были поставлены следующие задачи:
1. Для группы GLn(F) малых размерностей над полем F характеристики 2 провести вычисления, которые могут быть полезны для решения задачи 14.69в).
2. Для группы А8 указать в явном виде четверку порождающих сопряженных инволюций, две из которых перестановочны (задача 14.69г)).
3. Для группы PSp4(2F) найти минимальное число порождающих сопряженных инволюций, две из которых перестановочны (задача 14.69г)).
Все поставленные задачи выполнены. В работе получены следующие результаты.
1) С помощью теоремы Скотта для группы GLn(F) над полем F характеристики 2 при п < 6 найдено минимальное число сопряженных порождающих инволюций, произведение которых равно 1. Этот результат может быть полезен при решении задачи 14.69в).
2) Для группы А8 явно указана четверка сопряженных порождающих инволюций, две из которых перестановочны, тем самым решена задача 14.69г).
3) Для группы PSp4(2F) явно указана тройка сопряженных порождающих инволюций, две из которых перестановочны, тем самым решена задача 14.69г).
Следует отметить, что при решении данных задач, а также при нахождении порождающих инволюций существенно использовалась система GAP и имеющиеся результаты в Атласе конечных простых групп [15]. Некоторые из полученных результатов были представлены на конференциях «Проспект Свободный — 2022» и «Проспект Свободный — 2023 »
