1. Введение 3
2. Глава 1. Векторные пространства над полем 7
3. Глава 2. Линейные алгебры над полем 16
4. Глава 3. Алгебры циклических чисел 27
5. Глава 4. Приложения циклических алгебр
в элементарной математике 48
6. Заключение 63
7. Список использованной литературы 64
Выпускная квалификационная работа «Изучение свойств циклических чисел на факультативных занятиях в школе» посвящена одному из разделов современной алгебры, а именно теории линейных алгебр, и того её фрагмента, который относится к групповым алгебрам с базовой группой Z т.
Исторически первой линейной алгеброй была алгебра комплексных чисел. Комплексные числа z = х + 4-1 у впервые появились в XVI веке при решении уравнений третьей и четвёртой степени. Но, в отсутствии какого-либо наглядного образа, эти числа почитались надуманными, мнимыми, хотя со временем комплексные числа стали важнейшим инструментом в самых разных областях математики. Ситуация изменилась на рубеже XVIII - XIX веков, когда ряд математиков, в том числе Гаусс и Коши, независимо друг от друга, интерпретировали комплексные числа как точки евклидовой плоскости. При этом свойства комплексных чисел были настолько хорошо согласованны с планиметрией, что некоторые геометрические задачи при помощи комплексных чисел решались проще, чем традиционными методами [3].
При такой интерпретации комплексных чисел естественно возникала задача поиска гиперкомплексных чисел, которые можно было бы отождествлять с точками трёхмерного пространства. Эту задачу в середине XIX века решил ирландский математик Уильям Гамильтон. Хотя его гиперкомплексные числа x = Х0 + хр. + х2 j + Хзк, которые он назвал кватернионами, соответствовали точкам четырёхмерного пространства, кватернионам вида г = v1i + v2j + Гзк можно было сопоставить точки трёхмерного пространства; такие кватернионы Гамильтон назвал векторами. Обобщением алгебры кватернионов стали линейные алгебры.
Линейные алгебры строятся над векторными пространствами. Теория векторных пространств, имеющая своим истоком кватернионы Гамильтона, приобрела законченную форму в начале ХХ века благодаря работам Оливера Хевисайда, Уилларда Гиббса, Морица Паша, Эдмона Лагерра, Джузеппе Пеано и ряда других математиков. Под векторным пространством стали понимать множество, для элементов которого была определена одна “внутренняя” операция сложения и одна “внешняя” операция умножения на число. И в таком абстрактном виде теория линейных пространств стала основой для разных математических дисциплин, от евклидовой геометрии [1] до теории дифференциальных и интегральных уравнений [2].
Если, структуру линейного пространства дополнить ещё одной “внутренней” операцией, дистрибутивной относительно сложения векторов, то полученная структура станет частным случаем структуры кольца; в неё включены кольца, у которых центр содержит некоторое поле. Такая структура получила название линейных алгебр, или просто алгебр [3], [11]. Элементы этой структуры представляют собой непосредственное обобщение комплексных чисел и кватернионов. И так же как поле комплексных чисел и тело кватернионов, различные линейные алгебры находят приложения в геометрии и во многих других разделах математики и теоретической физики [2]...
Приложения циклических алгебр, конечно, не ограничены лишь некоторыми примерами из элементарной геометрии. Сами по себе циклические алгебры являются источником геометрических структур, отличных от евклидовой геометрии. Такие структуры определяются на линейных пространствах циклических алгебр, где в качестве фундаментальной формы, определяющей различные геометрические величины, берётся детерминант текущего элемента алгебры. При этом движениями будут преобразования линейного пространства алгебры, задаваемые линейными алгебраическими функциями.
То, что такие преобразования существуют, проистекает из мультипликативного свойства детерминанта текущего элемента алгебры, а так же из следующего свойства циклических алгебр.
Лемма (об детерминанте экспоненты). Если положить
pWn>1- V (ХЪ) — Fn (г) + ₽ Fn (г) + ₽2 Fn (г) + +₽ m-1Fn (г) ЕХр(ХЪ) — / — FQ (X) + ЪFl (X) + Ъ F'2 (X) + K + Ъ Fm-1 (X) ,
п—0 N!
то
EN (х) ЕМ-1( X) • • FN (х)
Д(ехр(хв)) — EN (х) EN (х) . • FN (х) —1
ЕМ-1( X) ЕМ-2( X) • • FN (х)
Тогда, для линейных алгебраических функций х — х • exp(ts) будет выполняться тождество Д(х') — Д(х), так как Д(х') — Д(х)Д(ехр(тв)), а это и означает, что преобразования линейного пространства циклической алгебры, задаваемые линейными алгебраическими функциями вида х — х • exp(ts), сохраняет детерминант текущего элемента. То есть такие преобразования будут движениями в линейном пространстве циклической алгебры, где в качестве фундаментальной формы взят детерминант текущего элемента.
