ВВЕДЕНИЕ 3
1. УРАВНЕНИЕ ПРАНДТЛЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 5
1.1. Обзор литературы 5
1.2. Некоторые обозначения и пространства 6
1.3. Полуплоскость с полубесконечным стрингером вдоль границы 8
1.4. Теоремы об однородном и неоднородном уравнении
Прандтля в пространстве потенциала Бесселя 10
1.5. Решение уравнения Прандтля для бесконечной пластины,
усиленной стрингером 12
1.5.1 Постановка задачи 12
1.5.2. Система разностных уравнений 13
1.5.3. Постановка задачи Римана 16
1.5.4. Решение интегро-дифференциального уравнения
Прандтля 20
1.5.5. Решение задачи о стрингере 20
2. УРАВНЕНИЕ ПРАНДТЛЯ В АЭРОДИНАМИКЕ 26
2.1. Поведение несжимаемого потока воздуха вокруг
крыла конечного размаха 26
2.2. Вихревая нить, закон Био - Савара и теоремы Гельмгольца 35
2.3. Классическая теория подъемных линий Прандтля 40
3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЕ ПРАНДТЛЯ МЕТОДОМ
СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА 48
3.1. Метод сплайн коллокации для уравнения Прандтля 48
3.2. Решение уравнения Прандтля с помощью
разработанного алгоритма 50
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 53
Приложение А. Программа для решения уравнения 56
Актуальность работы. Многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, физики, химии и техники приводят к необходимости решения различных классов интегральных уравнений первого и второго родов. Частным случаем интегральных уравнений являются интегро- дифференциальное уравнение Прандтля. Оно используются во многих областях науки и техники: аэродинамика [1], теория упругости [2] и других областях науки. Одной из широко известных задач применения таких уравнений является задача определения характеристик крыла самолета конечного размаха [3]. Другим примером может служить задача о сжатии двух упругих тел [4]. Разработка численных и аналитических методов решения уравнения Прандтля остается актуальной в связи с тем, что многие задачи технических систем приводят к необходимости поисков все более точных решений. Для инженерных приложений широкое использование CAE-систем не уменьшает актуальности получения аналитических решений, позволяющих использовать их в задачах анализа и синтеза контактных деталей. Разработка аналитических методов дает возможность не только контролировать результаты, полученные с помощью CAE-систем, но и находить более рациональные схемы решений.
Аналитическим и численным методам исследования уравнений крыла конечного размаха посвящено большое число работ, из которых основные результаты приведены в монографиях [3, 5-8]. При этом, как правило,
рассматривались уравнения крыла в линейной постановке. Одним из наиболее подробно исследованных уравнений теории крыла, является уравнение Прандтля, играющее важную роль при решении большого числа задач аэродинамики. Уравнение Прандтля является линейным уравнением и это - результат нескольких линеаризаций, проведенных при его выводе .
Объектом исследования являются уравнение Прандтля крыла конечного размаха.
Предмет исследования - построение численных методов решения уравнения Прандтля крыла конечного размаха.
Целью бакалаврской работы является разработка численных методов решения уравнения Прандтля крыла конечного размаха для возможности их дальнейшего применения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- Исследовать современные методы решения уравнения Прандтля крыла конечного размаха;
- разработать вычислительные схемы для нахождения численного решения уравнения Прандтля на отрезке [-1,1].
Научная новизна работы заключается в том, что была разработана вычислительная схема применения метода сплайн коллокации нулевого порядка для решения уравнения Прандтля на отрезке [-1,1].
Практическая ценность работы заключается в том, что были разработаны и обоснованы приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений, что может использоваться для решения различных задач аэродинамики, теории композитных материалов и многих других областей.
Теоретическая ценность и практическая значимость. Результаты исследований, представленные в работе, могут быть использоваться для решения различных задач аэродинамики, теории композитных материалов и многих других областей...
В бакалаврской работе было рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение Прандтля и его применения в различных областях техники и физики. В связи с широким использованием этого уравнения в различных задачах современной науки необходимо построить эффективный метод его решения. Одним из таких методов может быть переход к краевой задаче Коши, используя преобразования Меллина, как показано в работе. Однако данный метод требует большого количества расчетов, вычислительных мощностей и многоступенчатом алгоритме решения. В работе было предложено применение метода сплайн-коллокации нулевого порядка для решения уравнения Прандтля на отрезке [-1,1], которое является аналогом уравнения Прандтля для крыла конечного размаха.
На модельном примера была продемонстрирована эффективность разработанного численного метода.
Полученные результаты могут быть использованы при решении задач обтекания потоком воздуха крыла самолета, расчете напряжения в пластине, усиленной стрингером, задаче о сжатии двух тел и многих других классах задач.
