ведение 3
Глава 1: Известные результаты в теории групп 4
1.1. Общие определения и теорем теории групп 4
1.2. Теорема Силова 6
1.3. Приложения теоремы Силова 9
1.4. Примеры силовких подгрупп 11
1.5. Группы движений 12
Глава 2: Силовские подгруппы преобразования пространственных
фигур 14
Заключение 31
Список использованной литературы 32
Известно, что теорема Лагранжа не гарантирует существование подгрупп с указанным делителем порядка группы. Нас интересует строение некоторых конечных групп, для чего необходима более расширенная теория, связанная с теоремами Силова, доказанными норвежским математиком Л. Силовым в 1872 году.
В то же время, информационные технологии проникают в столь абстрактный раздел алгебры, как теория групп.
С того момента как в ноябре 2012 появился русскоязычной вариант «Введение в GeoGebra»MapkycXoxeneapTep, программа GeoGebraakTUBHO разрабатывается для применении в разных направлениях, чаще в геометрии.
В последнее время наблюдается тенденция применения GeoGebrae теории групп.
В этом направлении в 2015 году работали Ооржак Онзагай выпускная квалификационная работа «Графы слойно - конечных групп» научный руководитель работы Сенашов В. И. в 2015 г, Монгуш Ч. В. «Морфологический анализ группы с уклонением на отношении порядка» ВКР, руководитель: Троякова Г. А. ВКР.[6,7]
Целью данного дипломного работы описать и показать силовские подгруппы преобразований пространственных фигур на среде GeoGebra. тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдр, икосаэдр.
Задачи:
1. Изучить известные результаты в теории групп
2. Доказать теорему Силова
3. Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп
4. Изучить программу GeoGebra.
В задаче показано применение теорем Силова, которые можно применять при нахождении количество силовских подгрупп в преобразовании пространственной фигуры тетраэдра, куба.
В группе вращения тетраэдре Т~ =12 = 2 ~ - 3 Описала разложение в произведение циклов для всех перестановок из группы: {Е, (14)(23), (13)(24), (12)(34), (234), (243),(143), (134), (124), (142), (132), (123)}. В Т+ одна силовская 2 - подгруппа и 4 силовских 3 - подгруппы.
В группе вращения куба Q ’ = 24 == 2 - 3 Описала разложение в произведение циклов для всех перестановок из группы:{Е, (1432)(5876),(13)(24)(57)(68), (1234)(5678), (1584)(2673), (18)(27)(36)(45), (1485)(2376), (1562)(3487), (1265)(3784), (16)(25)(38)(47), (1)(254)(368)(7), (2)(136)(475)(8), (3)(168)(274)(5), (4)(138)(275)(6), (1)(245)(386)(7), (2)(163)(457)(8), (3)(186)(247)(5), (4)(183)(257)(6), (15)(28)(37)(46), (12)(35)(46)(78), (17)(23)(46)(58), (17)(26)(35)(48), (14)(28)(35)(67), (17)(28)(34)(56)}. И в Q 3 силовские 2 - подгруппы и 4 силовские 3 - подгруппы.
Группа вращения куба изоморфен S4 и группа вращения октаэдр изоморфен S4. И у группы вращения октаэдра такие же силовсие подгруппы, как и у куба: согласно теореме Силовы в группе . существует 3 силовская 2 - подгруппа и 4 силовские 3 - подгруппы (каждая порождена циклом 3).
Группы вращения додекаэдра и икосаэдра имеют 3 силовские 2 - подгруппы, 4 силовские 3 - подгруппы и 6 силовские 5 - подгруппы.
Записанные силовские р-подгруппы демонстрируются как группы вращений в среде GeoGebra.Также представлены графы вращений этих фигур в той же среде GeoGebra.
