Введение 3
Глава 1. Исследование модельных функций 6
1.1 Список функций для исследования 7
1.2 Полный классический анализ функций 8
Глава 2. Расчет сравнительных характеристик модельных функций ... .41
2.1 Идентификация модельных функций распределения ЗВ 41
2.2 Метрическое сравнение распределений 52
2.2.1 Равномерная метрика 52
2.2.2 Равномерная дифференциальная метрика 61
2.2.3 Интегральная метрика 62
Приложения 63
1. Постоянная Эйлера 63
2. Интегральная показательная функция 64
3. Интеграл вероятности 66
4. Гамма-функция 68
5. Метод наименьших квадратов 70
Заключение 73
Список литературы 74
Купить

Во многих крупных городах страны существует проблема загрязнения экологической среды различными техническими и антропогенными источниками дыма. Распространение дыма под влиянием ветра, перенос загрязняющих веществ (ЗВ), являющихся продуктами сгорания угля, их диффузия и осаждение на поверхность земли или снега обычно описывается сложными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, при тех или иных допущениях и условиях.
Точное решение таких уравнений не всегда возможно, поэтому разработаны и приближенные методы их решения, используются и эвристические приёмы. В результате исследований строятся функции распределения концентрации ЗВ в окрестностях источников дыма, которые затем привязываются к имеющимся экспериментальным данным, т.е. идентифицируются по конкретной реальной ситуации.
Эти функции позволяют численно рассчитывать поля различной степени концентрации ЗВ на карте города, т.е. пространственно прогнозировать благоприятные или неблагоприятные места для того или иного их пользования.
Вся цепь математических построений для описания и исследования данной проблемы называется математической моделью процесса загрязнения экосферы города. Иногда, упрощенно, математической моделью называют только саму функцию распределения ЗВ.
Как видно из предыдущих замечаний, для одного конкретного объекта может быть построено несколько различных дифференциальных моделей. Они могут различаться, например, по точности, с которой они описывают явления вблизи источника дыма или на дальних расстояниях от него.
Для построения математических моделей изученных явлений кроме аппарата теории дифференциальных уравнений активно используются так же методы математической статистики, функционального анализа и другие. Часто эти методы дополняют друг друга.
Проблема загрязнения экологической среды источниками дыма особо остро стоит в нашем городе Кызыле. Основным техногенным источником является Кызылская ТЭЦ с её двумя трубами (обычно их считают как одну суммарную трубу), в которой сжигается уголь Каа-Хемского угольного разреза. Расположен ТЭЦ в восточной части города, и её дым в отопительный зимний период распространяется в направлении господствующих ветров с Востока на Запад, проходя над всей территорией города, вытянутого как раз в этом направлении от ТЭЦ вдоль реки Енисей.
Другим рассеянным множественном источником дыма являются отопительные печи и трубы частных одноэтажных домов, занимающих большую зону в г. Кызыле. Эти печи так же сжигают местный уголь, но при более низкой температуре, чем в печах ТЭЦ. Поэтому дым печей частного сектора содержит больше ЗВ, чем дым ТЭЦ. Считается, что дым печей частного сектора вносит существенно больший вклад в загрязнение экосферы города, чем его ТЭЦ. Однако, это оценивается лишь по косвенным данным.
Мы далее будем заниматься только дымом, выбрасываемым трубой Кызылской ТЭЦ.
Первая математическая модель загрязнения экосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ была построены группой приглашенных из г. Обнинска группой специалистов из НПО Тайфун, проводивших масштабное экспериментальное, а затем и теоритическое исследование общей картины загрязнённости территории г. Кызыла в 1995 году. Основные результаты ими были опубликованы в [1]. Предложенная ими модель основана на общей теории дифференциальных уравнений переноса и диффузии ЗВ в атмосфере. Полученная ими функция распределения ЗВ в одномерном упрощенном варианте имеет нормальный гауссовый вид у = ае~Ьх^, где x - расстояние до трубы ТЭЦ в направлении Восток-Запад, у- концентрация ЗВ, а и b - некоторые параметры. К сожалению, в [1] не даётся вывод этого решения, но отмечается, что функция получена при ряде априорных предположений. Данная функция в [1] идентифицирована по экспериментальным данным.
Следующая и другая математическая модель загрязнения экосферы г. Кызыла дымом ТЭЦ была построена А.И. Жданком, опубликованная в 1999 году в работе [2]. Она была основана также на общей дифференциальной теории таких явлений, разработанной под руководством академика Г.И. Марчука в СО РАН (СО АН СССР), и системно изложенной в монографии [3]. Получаемая там функция распределения ЗВ, а также функция в [2], имеет уже другой экспоненциальный вид. В упрощенном одномерном варианте она даётся формулой у = ае~Ьх, где x и у те же, что и в гауссовой модели, а и b - некоторые параметры. Здесь, в отличии от гауссовой функции, переменная x входит в показатель экспоненты в первой степени, а не во второй. В работе [2] даётся также идентификация данной модели по экспериментальным данным.
Позже, в 2011 году А.И. Жданок представил в работе [4] уже подробное чисто математическое построение этой модели.
На следующем этапе в совместной работе [5] данная экспоненциальная модель была применена для анализа распределений уже нескольких конкретных загрязнителей с использованием новых экспериментальных данных.
В следующей коллективной работе [6] проводится подробный математический анализ по сравнению данных двух моделей в условиях г. Кызыла. Обсуждаются и некоторые другие модели, в частности дифференциальная модель А.С. Монина и А.М. Яглома. В упрощённом и одномерном варианте она имеет вид у = -е * , где x,y,a,b имеют тот же смысл, что и выше.
В следующей работе А.И. Жданка [6] строится уже двухмерная функция распределения ЗВ, основанная на общих дифференциальных уравнениях [3]. По некоторым фиксированным направлениям от трубы ТЭЦ в [6] выведены следующие частные функции распределения у = /е~Ьх,у = /, где x также расстояние до трубы ТЭЦ. Подчеркнём, что при изменении
направлений, по которым изучается зависимость концентрации ЗВ y от расстояния x до трубы ТЭЦ, может существенно меняться и тип этой зависимости (т.е. формула y=f(x)).
В обширной литературе по изучаемому явлению можно найти и другие типы функций распределения концентрации ЗВ.
Целью работы является построение и отбор типов модельных функций, могущих адекватно и оптимально описывать по экспериментальным данным процесс загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности в г. Кызыле дымом из труб Кызылской ТЭЦ.
В нашей Дипломной работе были поставлены следующие задачи:
1. Составить список параметризованных функций, которые теоретически могут служить упрощёнными решениями тех или иных модельных уравнений, т.е. могут являться модельными функциями распределения концентрации ЗВ в зависимости от расстояния до ТЭЦ. За основу взять пять приведённых выше уже используемых функций распределения, и добавить близкие к ним другие функции.
2. Провести полный классический анализ этих модельных функций распределения, используя методы математического анализа. При необходимости привести аппарат специальных функций.
3. Идентифицировать данные модельные функции распределения по имеющимся экспериментальным данным хотя бы для одного загрязнителя, используя специализированные программные пакеты.
4. Провести сравнительный анализ идентифицированных модельных функций методами Функционального анализа и выявить оптимальные функции.
5. Выявить оптимальные функции, наиболее адекватно описывающие экспериментальную картину процесса загрязнения г. Кызыла дымом ТЭЦ.

Купить