Введение 2
1.1. Мотивация 2
1.2. Узлы и кривые 2
1.3. Шахматные графы кривых 3
1.4. 2-кривые 4
2. Оценки на количество 2-кривых 6
2.1. Алгоритм для перечисления 2-кривых 6
3. Построение семейства альтернированных узлов 11
3.1. Груды 11
3.2. Производящая функция для числа элементов веса N в полугруппе Lr 11
3.3. Неделимые 2-кривые 13
3.4. Сопоставление элементам полугруппы Lr набора дуг в прямоугольнике 15
3.5. Сопоставление элементам полугруппы Lr мультикривых 16
3.6. Построение кривой по элементу полугруппы Lr 16
3.7. Шахматные графы построенных кривых 19
3.8. Флайпы в построенной кривой 21
3.9. Проверка инъективности построенного отображения 22
Список литературы 24
1.1. Мотивация. В работе [1] предложен новый метод оценки асимптотики роста числа простых узлов и получена следующая оценка:
4 < liminf y/APn,
n^
где APn - это количество простых альтернированных узлов с числом перекрестков п.
В настоящей работе мы рассматриваем некоторые полугруппы, обобщающие локально-свободные полугруппы LFr, рассматриваемые в работах [1, 25], и строим инъективное отображение этих полугрупп в множество альтернированных узлов аналогично способу, предложенному в работе [1]. Построенные вложения позволяют получить следующую оценку:
4.48 < lim inf y/APn.
n^^
1.2. Узлы и кривые. В настоящей работы мы пользуемся той же терминологией, что и в работе [1].
Под кривыми в настоящей работе понимаются гладкие замкнутые кривые общего по¬ложения на плоскости или сфере. (Требование общего положения подразумевает, в част¬ности, конечность числа двойных точек и то, что в каждой двойной точке дуги пересека¬ются трансверсально.) Мы рассматриваем кривые с точностью до автогомеоморфизмов (не обязательно сохраняющих ориентацию) сферы и плоскости.
Рассматривая узлы с точностью до не обязательно сохраняющих ориентацию гомеомор-физмов объемлющего пространства, мы отождествляем узел с его зеркальным образом. Это дает корректное отображение из множества кривых в множество альтернированных узлов, поскольку для кривой с непустым множеством двойных точек имеется ровно два способа расстановки проходов-переходов, превращающих эту кривую в альтернированную диаграмму, а узлы, представленные двумя такими диаграммами, являются зеркальными образами друг друга. Обозначим указанное отображение (из множества сферических кри¬вых в множество альтернированных узлов) через f.
Кривую будем называть составной, если при удалении некоторой пары регулярных точек она распадается на две компоненты, ни одна из которых не является дугой, либо если она распадается при удалении одной из двойных точек. Кривую, не являющуюся составной, будем называть неприводимой.
