ВВЕДЕНИЕ 4
1. ЗАДАЧА СТЕФАНА. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ 6
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ
О ПРОМЕРЗАНИИ ГРУНТА 7
2.1. Постановка задачи о промерзании грунта 7
2.2. Метод ловли фронта в узел пространственной сетки 8
2.3. Метод преобразования координат 11
2.4. Исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости 13
2.4.1. Исследование аппроксимации метода ловли фронта в узел пространственной сетки 14
2.4.2 Исследование аппроксимации метода преобразования координат 20
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЛАЗЕРНОЙ
СВАРКИ ДВУХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАСТИН 26
3.1. Постановка задачи о процессе лазерной сварки 27
3.2. Математическая модель процесса лазерной сварки 29
3.3. Модель процесса формирования парогазового канала 32
3.4. Краевые условия для многомерного уравнения теплопроводности 34
3.5. Условия на поверхности парогазового канала 34
3.6. Условия на верхней и нижней поверхностях свариваемых
металлических пластин 37
3.7. Условия на периферии 38
3.8. Численный метод 38
4. РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 40
4.1. Вычислительная схема метода ловли фронта в узел пространственной
сетки 41
4.2. Вычислительная схема метода преобразования координат 43
4.3. Численное моделирование задачи о промерзании грунта 44
4.4. Исследование на устойчивость метода ловли фронта в узел пространственной
сетки 50
4.5. Исследование на устойчивость метода преобразования координат... 51
4.6 Вычислительная схема для трехмерной задачи теплопроводности с фазовыми переходами 52
4.7. Численное моделирование задачи о процессе лазерной сварки двух
металлических пластин 55
4.8. Исследование на устойчивость метода решения трехмерной задачи
теплопроводности с фазовыми переходами 58
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 62
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы для метода ловли
фронта в узел пространственной сетки 64
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг программы для метода
преобразования координат 67
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Листинг программы для решения
трехмерного уравнения теплопроводности с фазовыми переходами 70
В настоящее время подавляющее большинство проблем теплообмена связаны с изменением состояния вещества.
Следует отметить, что исследования в данном направлении применяются на практике во многих физических процессах: задачи о промерзании и оттаивании влажного грунта, об образовании льда на поверхности воды, о промерзании трубопроводов, о сварке, плавлении, затвердевании металла и др.
Решение задач Стефана имеет большое практическое значение в строительстве, в нефтегазодобыче, в металлургии и в других областях.
Процесс изменения физического состояния происходит при изменении температуры тела. К примеру, при охлаждении ниже точки плавления происходит переход из жидкой фазы в твердую.
В данной работе будет исследован особый класс математических моделей, который описывает физические процессы с фазовыми переходами. Одной из характерных особенностей которых является ранее неизвестное и изменяющееся с течением времени положение межфазной границы.
Одним из примеров физических процессов, иллюстрирующих задачу Стефана в одномерном случае, является задача о промерзании грунта. Ее можно представить как замкнутую систему, в которой с течением времени в зависимости от температуры среды происходит изменение значения коэффициента теплопроводности 2.
В данной работе представлено сравнение двух численных методов решения задачи о промерзании грунта, приведено исследование в области нахождения функциональной зависимости уровня смещения межфазной границы от времени.
Также графически представлен процесс изменения температуры в грунте с течением времени.
Примером физического процесса иллюстрирующего задачу Стефана в трехмерном случае является задача о моделировании процесса лазерной сварки металлических пластин.
В процессе сварки под воздействием больших температур происходит переход из твердой фазы металла в жидкую. При этом происходит формирование межфазной границы. Определение изменения ее положения с течением времени является актуальной научной проблемой.
Отдельное внимание в работе уделяется разработке и построению алгоритмов отыскания приближенных решений вышеописанных задач, а также их численной реализации в одномерном и трехмерном случаях.
К каждому физическому процессу разработан свой численный метод, описана разностная схема и метод получения ее приближенного решения.
1. В работе рассмотрены два численных метода решения одномерной двухфазовой задачи Стефана с граничным условием второго рода (метод ловли фронта в узел пространственной сетки и метод преобразования координат).
2. Представлено сравнение результатов численной реализации вышеуказанных методов. Полученные результаты показали преимущество метода преобразования координат по сравнению с методом ловли фронта. Данное преимущество заключается в возможности выбора произвольного шага по времени.
3. Проведено исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости вышеописанных численных методов в одномерном и многомерных случаях.
4. Также рассмотрен метод решения трехмерной модели процесса лазерной сварки металлических пластин и численный алгоритм ее реализации. Предложен и запрограммирован алгоритм построения сварной ванны. Результаты могут быть полезны при расчете расхода материалов и затрат при производстве металлокорпусов.
5. К каждому описанному в работе методу разработана разностная схема и описан метод ее решения.
