ВВЕДЕНИЕ 4
1. КВАДРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ 7
1.1. Классические квадратные формулы 7
1.2. Квадратурная формула Филона 10
2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 13
2.1. Примеры разложения тригонометрических функций .... 13
2.1.1. Асимптотический метод для функций вида sin хк ... 13
2.1.2. Асимптотический метод для функций вида cos хк . . 15
2.2. Основное асимптотическое разложение 17
3. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 20
3.1. Вычисления при отсутствии стационарных точек 20
3.2. Вклад невырожденной стационарной точки 22
3.3. Асимптотика интеграла в общем случае 25
3.4. Асимптотика функций Эйри и Бесселя 28
4. МЕТОД ЛАПЛАСА 32
4.1. Предварительные исследования 32
4.2. Обоснование асимптотики интеграла 33
4.2.1. Достижение максимума на границе 33
4.2.2. Достижение максимума во внутренней точке 35
4.3. Асимптотика гамма-функции Эйлера 39
5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 43
5.1. Сравнение квадратурных методов 43
5.2. Сравнение асимптотических и квадратурных методов .... 44
5.3. Сравнение асимптотики при наличии стационарных точек . 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 50
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 52
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы для вычисления интегралов по формуле Симпсона 54
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг программы для вычисления интегралов по формуле Филона 55
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Листинг программы для асимптотического разложения интегралов от функций вида sin хк 57
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Листинг программы для асимптотического разложения интегралов от функций вида cos хк 58
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Листинг программы для асимптотического разложения интегралов Фурье 59
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. Листинг программы для вычисления интегралов методом стационарной фазы 60
Вычисление осциллирующих интегралов является одной из важных задач в оптике, электродинамике, квантовой механики и многих других областях. Например, в области акустики - метод граничных элементов требует оценки сильно колебательных интегралов для решения интегральных уравнений с колебательными ядрами. Модифицированные ряды Фурье используют интегралы от быстроосциллирующих функций для получения аппроксимационной схемы функции, которая сходится быстрее, чем стандартный ряд Фурье. Другие приложения включают в себя гидродинамику, анализ изображение и много другое.
Вычисление интегралов от осциллирующих функций не всегда осуществимо с помощью готовых процедур предлагаемых распространенными вы-числительными пакетами типа Maple, Mathcad и т.п., поэтому возникает необходимость в разработке и исследовании методов надежно работающих для интегрирования широкого класса быстроосциллирующих функций.
В данной работе объектом исследования являются интегралы Фурье, которые имеют вид
f(x)eiw9^x)dx (1)
где д(x)- есть вещественная функция, называемая фазовой функцией, f (x) - функция амплитуды, а w- частота колебаний. Взяв действительную и мнимую части этого интеграла, мы получим интегралы с тригонометрическими ядрами:
^(1(f)) = f (x) cos wg(x)dx
3(1(f)) = f (x) sin wg(x)dx.
Еще одним типом интегралов, исследуемых в данной работе являются интегралы Лапласа, которые имеют вид
I (f) = [ f (x)e“*’rfx (2)
где д(х) - есть вещественная функцией, а функция f (х) может принимать и комплексные значения. При этом, также как и в интегралах Фурье, д(х) также является фазовой функцией, f (х) - функцией амплитуды, а w- частотой колебаний.
Аппроксимация таких интегралов требует особого внимания: традиционные квадратурные формулы не являются точными для быстроосциллирующих функций, поэтому основная целью данной работы работы является изучение асимптотической теории решения интегралов представленного вида.
Здесь, ключевое различие между квадратурными и асимптотическими методологиями заключается в том, что асимптотика связана с тем, как ведут себя интегралы при увеличении частоты колебаний, в то время как квадратурные методы имеют более практический взгляд и исследуют сходящиеся аппроксимации при фиксированной частоте....
Целью данной выпускной квалификационной работы являлось изучение асимптотических методов интегрирования быстроосциллирующих функций. В соответствии с поставленной целью в первой главе были рассмотрены классические квадратурные методы, построены формулы аппроксимации для тригонометрических интегралов, и рассмотрена общая схема построения асимптотического разложения для интегралов Фурье. К тому же, с помощью метода стационарной фазы был определен вклад в асимптотику интегралов Фурье одной и нескольких стационарных точек. Также в 4 разделе были исследованы интегралы Лапласа, а в 5 разделе приведены численные результаты для различных модельных задач, включаю интегралы с одной и несколькими стационарными точками.
Для исследования применения квадратурных методов к интегралам от быстроосциллирующих функций, из классических квадратурных методов, описанных в пункте 1.1 данной работы, был выбран метод Симпсона, который в будущем послужил основой для квадратурного метода, специализирующегося на осциллирующих функциях - метода Филона.
Таким образом, опираясь на данные полученные из таблиц (1) и (2) можно сделать вывод, что стандартные квадратурные методы и в частности метод Симпсона дают хорошую погрешность только при малой частоте колебаний и большом количестве узлов. В то время, как метод Филона уже при пяти узлах дает достаточно точное решение, которое становится только точнее, при увеличении частоты колебаний.
При сравнении квадратурных методов и асимптотических разложений, исходя из полученных результатов, а именно опираясь на таблицы (3 - 6), можно сделать вывод, что асимптотические методы, при сравнении с точным значением, полученным аналитически, совпадают с ним, в то время, как метод Симпсона при 5000 узлах дает погрешность только в 8 знаке, при этом затрачивая в 100 и более раз больше времени на проделанные вычисления. К тому же, при сравнение приближенных значений рассматриваемых методов друг с другом, асимптотические разложения либо совсем не отличаются друг от друга, либо отличаются, на относительно метода Симпсона - малое значение, при этом, опять же затрачивая значительно меньшее время на счет.
Рассматривая интегралы Фурье с одной и нескольким стационарными точками, и сравнивая метод стационарной фазы с методом Симпсона (таблицы 7 - 8), можно сделать вывод, аналогичный предыдущим: метод стационарной фазы обеспечивает достаточно точные значения при любой частоте колебаний за несколько миллисекунд, а в то время, как метод Симпсона не допускает погрешность выше 13 знаков и ухудшается с возрастанием колебаний, при этом затрачивая в более чем 100 раз больше времени.
