Тема: АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКИЙ

Вычисление осциллирующих интегралов является одной из важных задач в оптике, электродинамике, квантовой механики и многих других областях. Например, в области акустики - метод граничных элементов требует оценки сильно колебательных интегралов для решения интегральных уравнений с колебательными ядрами. Модифицированные ряды Фурье используют интегралы от быстроосциллирующих функций для получения аппроксимационной схемы функции, которая сходится быстрее, чем стандартный ряд Фурье. Другие приложения включают в себя гидродинамику, анализ изображение и много другое.
Вычисление интегралов от осциллирующих функций не всегда осуществимо с помощью готовых процедур предлагаемых распространенными вы-числительными пакетами типа Maple, Mathcad и т.п., поэтому возникает необходимость в разработке и исследовании методов надежно работающих для интегрирования широкого класса быстроосциллирующих функций.
В данной работе объектом исследования являются интегралы Фурье, которые имеют вид
f(x)eiw9^x)dx (1)
где д(x)- есть вещественная функция, называемая фазовой функцией, f (x) - функция амплитуды, а w- частота колебаний. Взяв действительную и мнимую части этого интеграла, мы получим интегралы с тригонометрическими ядрами:
^(1(f)) = f (x) cos wg(x)dx
3(1(f)) = f (x) sin wg(x)dx.
Еще одним типом интегралов, исследуемых в данной работе являются интегралы Лапласа, которые имеют вид
I (f) = [ f (x)e“*’rfx (2)
где д(х) - есть вещественная функцией, а функция f (х) может принимать и комплексные значения. При этом, также как и в интегралах Фурье, д(х) также является фазовой функцией, f (х) - функцией амплитуды, а w- частотой колебаний.
Аппроксимация таких интегралов требует особого внимания: традиционные квадратурные формулы не являются точными для быстроосциллирующих функций, поэтому основная целью данной работы работы является изучение асимптотической теории решения интегралов представленного вида.
Здесь, ключевое различие между квадратурными и асимптотическими методологиями заключается в том, что асимптотика связана с тем, как ведут себя интегралы при увеличении частоты колебаний, в то время как квадратурные методы имеют более практический взгляд и исследуют сходящиеся аппроксимации при фиксированной частоте....
Купить

Целью данной выпускной квалификационной работы являлось изучение асимптотических методов интегрирования быстроосциллирующих функций. В соответствии с поставленной целью в первой главе были рассмотрены классические квадратурные методы, построены формулы аппроксимации для тригонометрических интегралов, и рассмотрена общая схема построения асимптотического разложения для интегралов Фурье. К тому же, с помощью метода стационарной фазы был определен вклад в асимптотику интегралов Фурье одной и нескольких стационарных точек. Также в 4 разделе были исследованы интегралы Лапласа, а в 5 разделе приведены численные результаты для различных модельных задач, включаю интегралы с одной и несколькими стационарными точками.
Для исследования применения квадратурных методов к интегралам от быстроосциллирующих функций, из классических квадратурных методов, описанных в пункте 1.1 данной работы, был выбран метод Симпсона, который в будущем послужил основой для квадратурного метода, специализирующегося на осциллирующих функциях - метода Филона.
Таким образом, опираясь на данные полученные из таблиц (1) и (2) можно сделать вывод, что стандартные квадратурные методы и в частности метод Симпсона дают хорошую погрешность только при малой частоте колебаний и большом количестве узлов. В то время, как метод Филона уже при пяти узлах дает достаточно точное решение, которое становится только точнее, при увеличении частоты колебаний.
При сравнении квадратурных методов и асимптотических разложений, исходя из полученных результатов, а именно опираясь на таблицы (3 - 6), можно сделать вывод, что асимптотические методы, при сравнении с точным значением, полученным аналитически, совпадают с ним, в то время, как метод Симпсона при 5000 узлах дает погрешность только в 8 знаке, при этом затрачивая в 100 и более раз больше времени на проделанные вычисления. К тому же, при сравнение приближенных значений рассматриваемых методов друг с другом, асимптотические разложения либо совсем не отличаются друг от друга, либо отличаются, на относительно метода Симпсона - малое значение, при этом, опять же затрачивая значительно меньшее время на счет.
Рассматривая интегралы Фурье с одной и нескольким стационарными точками, и сравнивая метод стационарной фазы с методом Симпсона (таблицы 7 - 8), можно сделать вывод, аналогичный предыдущим: метод стационарной фазы обеспечивает достаточно точные значения при любой частоте колебаний за несколько миллисекунд, а в то время, как метод Симпсона не допускает погрешность выше 13 знаков и ухудшается с возрастанием колебаний, при этом затрачивая в более чем 100 раз больше времени.
Купить