Тема: ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ ТРЕТЬЕГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ

Теория гиперсингулярного интегрального исчисления зародилась в начале 20-го века в работах Жака Адамара [1, 2]. Позднее в связи с интенсивным развитием науки и техники в качестве методов математического моделирования в механике и физике стали применяться гиперсингулярные интегральные уравнения (ГИУ) [3].
В настоящее время приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов достаточно хорошо исследованы [4], чего нельзя сказать о методах решения ГИУ Точное решение ГИУ возможно лишь в исключительных случаях [5], и основным аппаратом в прикладных задачах являются приближенные методы. В этом направлении предложен ряд численных алгоритмов для некоторых классов ГИУ, как прямых, так и основанных на сведении к сингулярным интегро-дифференциальным уравнениям.
В работе [6] приводится сплайн - коллокационный метод для получения приближенных решений класса ГИУ, которые используются при моделировании электрических вибраторов. Численные схемы, основанные на сплайн- коллокационном методе, также были применены и для решения более широкого класса ГИУ [7].
При решении ГИУ применяется непрерывный метод, предложенный в работе [8], он основан на теории устойчивости Ляпунова. Особенностью метода является то, что он не накладывает сильные требования к нелинейному оператору в окрестности решения и поэтому метод применим как к линейным, так и к нелинейным операторным уравнениям. Примеры приложения непрерывного метода для решения ГИУ приводится в работах [9-12].
Отдельно отметим работу [10], в которой приведен обзор основных направлений в методах решения ГИУ. В работе рассматриваются ГИУ на замкнутых и разомкнутых контурах, полигиперсингулярные и многомерные интегральные уравнения, приводится исследование устойчивости, дается доказательство сходимости приближенного решения к точному, а также оценки величины погрешности и скорости сходимости.
В настоящей работе исследуются приближенные методы решения ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков вида поскольку ГИУ с особенностью третьего и четвертого порядков находят применения в многочисленных задачах механики [13].
Работа состоит из трех глав. В первой вводятся основные классы функций на которых исследуются ГИУ, даются определения гиперсингулярных интегралов и ГИУ, приводится непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений и некоторые вспомогательные сведения о многочленах Чебышева.
Во второй главе рассматривается аналитический метод сведения ГИУ второго рода к интегро-дифференциальному уравнению, приводится вычислительная схема для решения ГИУ второго рода с особенностью третьего порядка, численная схема решения ГИУ второго рода с особенностью четвертого порядка, использующая непрерывный метод [8], а также схема, применимая к классу ГИУ, у которого на функцию решения накладываются особые условия.
Третья глава посвящена практической части: приводятся примеры ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков, используемые в задачах теории упругости, выводятся соотношения для получения решения таких ГИУ, приводится модельная задача и результаты численных экспериментов по применению метода решения ГИУ, анализируются результаты вычислений.

Купить

Целью работы было изучение приближенных методов решения ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков
В рамках данной работы рассмотрены: аналитический метод сведения ГИУ к интегро-дифференциальному уравнению, приближенный метод решения ГИУ с особенностью третьего порядка, приближенный метод решения ГИУ с особенностью четвертого порядка, использующий непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений, приведено доказательство однозначной разрешимости систем, к которым сводится решение ГИУ в данных методах. В п. 3.1 рассмотрены конкретные модельные примеры ГИУ. Для одного из них получено аналитическое решение путем сведения к интегро- дифференциальному уравнению Фредгольма. Два других примера - это ГИУ, используемые в теории упругости для моделирования процесса образования трещин [16], для них выведена система уравнений с многочленами Чебышева, решение которой позволяет определить коэффициенты разложения точного решения.
В п. 3.2 были даны результаты численного решения ГИУ второго рода с особенностью третьего порядка при различных значениях параметрах, в котором решение представляется в виде кусочно-постоянной функции. Приближенное решение задачи в контрольных точках получено с помощью программы, реализующий метод п. 2.2. Данное решение сходится к точному при числе узлов N > 20 (и размере системы уравнений). При этом точное решение модельной задачи получено аналитическим методом п. 2.1.
Таким образом, показано, что приближенное решение ГИУ может быть получено как с помощью специализированных численных схем, применимых только к ГИУ, так и с помощью методов решения интегро-дифференциальных уравнений, после процесса аналитического сведения заданных ГИУ к таковым, а также с помощью представления функции решения в виде суммы многочленов Чебышева первого или второго рода с некоторыми коэффициентами, определяемых путем решения системы линейных уравнений.

Купить