ВВЕДЕНИЕ 4
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 6
1.1. Классы функций 6
1.2. Определения гиперсингулярных интегралов 7
1.3. Непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений .... 9
1.4. Некоторые сведения о многочленах
Чебышева первого и второго рода 14
2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 16
2.1. Аналитический метод решения гиперсингулярных интегральных
уравнений второго рода 16
2.2. Приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных
уравнений второго рода с особенностью третьего порядка 18
2.3. Приближенный метод решения гиперсингулярных интегральных
уравнений второго рода с особенностью четвертого порядка 22
2.4. Приложение многочленов Чебышева для решения некоторого
класса гиперсингулярных интегральных уравнений 26
2.4.1. Уравнение с особенностью третьего порядка 26
2.4.2. Уравнение с особенностью четвертого порядка 27
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 29
3.1. Модельные задачи 28
3.1.1. Аналитическое решение гиперсингулярного
интегрального уравнения 29
3.1.2. Уравнение с особенностью третьего порядка 30
3.1.3. Уравнение с особенностью четвертого порядка 32
3.2. Анализ результатов численного решения гиперсингулярного
интегрального уравнения 34
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 40
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы поиска приближенного
решения гиперсингулярного интегрального уравнения второго рода с особенностью третьего порядка
Теория гиперсингулярного интегрального исчисления зародилась в начале 20-го века в работах Жака Адамара [1, 2]. Позднее в связи с интенсивным развитием науки и техники в качестве методов математического моделирования в механике и физике стали применяться гиперсингулярные интегральные уравнения (ГИУ) [3].
В настоящее время приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов достаточно хорошо исследованы [4], чего нельзя сказать о методах решения ГИУ Точное решение ГИУ возможно лишь в исключительных случаях [5], и основным аппаратом в прикладных задачах являются приближенные методы. В этом направлении предложен ряд численных алгоритмов для некоторых классов ГИУ, как прямых, так и основанных на сведении к сингулярным интегро-дифференциальным уравнениям.
В работе [6] приводится сплайн - коллокационный метод для получения приближенных решений класса ГИУ, которые используются при моделировании электрических вибраторов. Численные схемы, основанные на сплайн- коллокационном методе, также были применены и для решения более широкого класса ГИУ [7].
При решении ГИУ применяется непрерывный метод, предложенный в работе [8], он основан на теории устойчивости Ляпунова. Особенностью метода является то, что он не накладывает сильные требования к нелинейному оператору в окрестности решения и поэтому метод применим как к линейным, так и к нелинейным операторным уравнениям. Примеры приложения непрерывного метода для решения ГИУ приводится в работах [9-12].
Отдельно отметим работу [10], в которой приведен обзор основных направлений в методах решения ГИУ. В работе рассматриваются ГИУ на замкнутых и разомкнутых контурах, полигиперсингулярные и многомерные интегральные уравнения, приводится исследование устойчивости, дается доказательство сходимости приближенного решения к точному, а также оценки величины погрешности и скорости сходимости.
В настоящей работе исследуются приближенные методы решения ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков вида поскольку ГИУ с особенностью третьего и четвертого порядков находят применения в многочисленных задачах механики [13].
Работа состоит из трех глав. В первой вводятся основные классы функций на которых исследуются ГИУ, даются определения гиперсингулярных интегралов и ГИУ, приводится непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений и некоторые вспомогательные сведения о многочленах Чебышева.
Во второй главе рассматривается аналитический метод сведения ГИУ второго рода к интегро-дифференциальному уравнению, приводится вычислительная схема для решения ГИУ второго рода с особенностью третьего порядка, численная схема решения ГИУ второго рода с особенностью четвертого порядка, использующая непрерывный метод [8], а также схема, применимая к классу ГИУ, у которого на функцию решения накладываются особые условия.
Третья глава посвящена практической части: приводятся примеры ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков, используемые в задачах теории упругости, выводятся соотношения для получения решения таких ГИУ, приводится модельная задача и результаты численных экспериментов по применению метода решения ГИУ, анализируются результаты вычислений.
Целью работы было изучение приближенных методов решения ГИУ второго рода с особенностями третьего и четвертого порядков
В рамках данной работы рассмотрены: аналитический метод сведения ГИУ к интегро-дифференциальному уравнению, приближенный метод решения ГИУ с особенностью третьего порядка, приближенный метод решения ГИУ с особенностью четвертого порядка, использующий непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений, приведено доказательство однозначной разрешимости систем, к которым сводится решение ГИУ в данных методах. В п. 3.1 рассмотрены конкретные модельные примеры ГИУ. Для одного из них получено аналитическое решение путем сведения к интегро- дифференциальному уравнению Фредгольма. Два других примера - это ГИУ, используемые в теории упругости для моделирования процесса образования трещин [16], для них выведена система уравнений с многочленами Чебышева, решение которой позволяет определить коэффициенты разложения точного решения.
В п. 3.2 были даны результаты численного решения ГИУ второго рода с особенностью третьего порядка при различных значениях параметрах, в котором решение представляется в виде кусочно-постоянной функции. Приближенное решение задачи в контрольных точках получено с помощью программы, реализующий метод п. 2.2. Данное решение сходится к точному при числе узлов N > 20 (и размере системы уравнений). При этом точное решение модельной задачи получено аналитическим методом п. 2.1.
Таким образом, показано, что приближенное решение ГИУ может быть получено как с помощью специализированных численных схем, применимых только к ГИУ, так и с помощью методов решения интегро-дифференциальных уравнений, после процесса аналитического сведения заданных ГИУ к таковым, а также с помощью представления функции решения в виде суммы многочленов Чебышева первого или второго рода с некоторыми коэффициентами, определяемых путем решения системы линейных уравнений.
