Факультативный курс по диофантовым уравнениям
|
Введение 3
Глава 1 Теоретические основы обучения решению диофантовых уравнений в рамках факультативного курса по математике
в средней школе 7
1.1 О теории диофантовых уравнений 7
1.2 Элементы теории диофантовых уравнений в школьной
программе по математике 16
1.3 Диофантовы уравнения первой и второй степеней как содержательная основа факультативного курса по математике для
десятого класса 31
1.3.1 Линейные диофантовы уравнения 31
1.3.2 Диофантовы уравнения второй степени с двумя
переменными 45
1.4 Методические особенности проектирования факультативного курса по диофантовым уравнениям на старшей ступени общего образования 64
Глава 2 Проектирование факультативного курса по математике «Диофантовы уравнения» для десятого класса 68
2.1 Рабочая программа факультативного курса «Диофантовы уравнения» 68
2.2 Технологическая карта занятия факультативного курса по теме «Решение неполных диофантовых уравнений ах2 + Ьху+су2 ++dx+ еу + f = 0 , где обязательно b Ф 0 , а = 0 или с = О
методом выделения целой части» 77
Заключение 95
Список литературы 98
Приложение 104
Глава 1 Теоретические основы обучения решению диофантовых уравнений в рамках факультативного курса по математике
в средней школе 7
1.1 О теории диофантовых уравнений 7
1.2 Элементы теории диофантовых уравнений в школьной
программе по математике 16
1.3 Диофантовы уравнения первой и второй степеней как содержательная основа факультативного курса по математике для
десятого класса 31
1.3.1 Линейные диофантовы уравнения 31
1.3.2 Диофантовы уравнения второй степени с двумя
переменными 45
1.4 Методические особенности проектирования факультативного курса по диофантовым уравнениям на старшей ступени общего образования 64
Глава 2 Проектирование факультативного курса по математике «Диофантовы уравнения» для десятого класса 68
2.1 Рабочая программа факультативного курса «Диофантовы уравнения» 68
2.2 Технологическая карта занятия факультативного курса по теме «Решение неполных диофантовых уравнений ах2 + Ьху+су2 ++dx+ еу + f = 0 , где обязательно b Ф 0 , а = 0 или с = О
методом выделения целой части» 77
Заключение 95
Список литературы 98
Приложение 104
Особое внимание в современном российском обществе уделяется вопросу повышения уровня математической образованности. Данное положение обусловлено тем, что Российская Федерация нуждается в квалифицированных специалистах для наукоемкого и высокотехнологичного производства. Ввиду этого, выдвигается задача обеспечения стране необходимого числа выпускников, как основной общей, так и средней общей школы, чья математическая подготовка будет достаточна для продолжения образования в различных направлениях, включая и преподавание математики.
Структура и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике профильного уровня, который сдается по окончании освоения основной образовательной программы среднего общего образования, предполагают дифференциацию абитуриентов. Она заключается в разделении экзаменационной работы на две части: первая часть - 11 заданий с кратким ответом, вторая часть - 7 заданий с развернутым ответом, причем последние два задания второй части являются заданиями высокого уровня, которые и определяют готовность выпускников обучаться в вузе с повышенными требованиями к математической подготовке. Остановимся на одном из этих двух заданий, а именно на задании № 18, направленном на проверку умения строить и исследовать простейшие математические модели. Очень часто этими моделями являются целые рациональные уравнения с несколькими переменными, решения которых разыскиваются в натуральных числах. В качестве небольшого исключения можно привести в пример следующее задание, которое было предложено сдающим в 2019 году в резервную волну:
«Дано квадратное уравнение х2 +р х + q = 0 , имеющее два различных натуральных корня.
а) При q = 5 5 найдите все различные возможные значения р.
б) При р + q = 3 0 найдите все возможные значения q.
в) При q2— р2= 2 1 0 8 найдите все возможные корни уравнения» [22].
На самом деле оно тоже сводится к решению уравнений, решаемых в натуральных числах, если применить теорему Виета. Тем не менее никто не может исключить возможности, что выпускник воспользуется другими рассуждениями, что и приведет его к решению уравнений, где хотя бы на одну переменную будет распространяться условие целочисленности, а не только натуральности. Вообще, целые рациональные уравнения с целыми коэффициентами при п переменных (п > 2 ), которые решаются в целых числах, относятся к специальному классу уравнений, имеющих название диофантовы. Диофантовы уравнения, как правило, при решении требуют особой аккуратности в ведении рассуждений из-за возможно большого количества случаев и использования приличного математического аппарата. В связи с этим изучение, по крайней мере, элементарной части теории таких уравнений позволит не только сформировать требуемые умения, но и расширит представления обучающихся о самой математике; ее разделах и их взаимосвязях; о проблемах, с которыми она сталкивается в своем развитии. Не случайно говорят, что к диофантовым уравнениям сводятся почти все математические задачи.
В современных условиях образовательные организации должны
предусмотреть подготовку обучающихся в соответствии с их запросами к уровню подготовки в сфере математического образования. Причем
повышенные запросы могут иметь место, поскольку за последние шесть лет в Пензенской области полная или почти полная выполнимость задания, соответствующего заданию № 18, крайне низка (таблица 1), что показывает несформированность умений исследовать построенные модели и интерпретировать полученные результаты. Между тем данные умения очень востребованы, в частности, во многих областях современных наукоемких информационных технологий, которые основаны на положениях теории чисел, частью которой как раз и является теория диофантовых уравнений. Реализовать подобную подготовку возможно с помощью включения в учебный план дополнительных курсов, например, факультативных. В этом и заключается актуальность выбранной нами темы.
...
Структура и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике профильного уровня, который сдается по окончании освоения основной образовательной программы среднего общего образования, предполагают дифференциацию абитуриентов. Она заключается в разделении экзаменационной работы на две части: первая часть - 11 заданий с кратким ответом, вторая часть - 7 заданий с развернутым ответом, причем последние два задания второй части являются заданиями высокого уровня, которые и определяют готовность выпускников обучаться в вузе с повышенными требованиями к математической подготовке. Остановимся на одном из этих двух заданий, а именно на задании № 18, направленном на проверку умения строить и исследовать простейшие математические модели. Очень часто этими моделями являются целые рациональные уравнения с несколькими переменными, решения которых разыскиваются в натуральных числах. В качестве небольшого исключения можно привести в пример следующее задание, которое было предложено сдающим в 2019 году в резервную волну:
«Дано квадратное уравнение х2 +р х + q = 0 , имеющее два различных натуральных корня.
а) При q = 5 5 найдите все различные возможные значения р.
б) При р + q = 3 0 найдите все возможные значения q.
в) При q2— р2= 2 1 0 8 найдите все возможные корни уравнения» [22].
На самом деле оно тоже сводится к решению уравнений, решаемых в натуральных числах, если применить теорему Виета. Тем не менее никто не может исключить возможности, что выпускник воспользуется другими рассуждениями, что и приведет его к решению уравнений, где хотя бы на одну переменную будет распространяться условие целочисленности, а не только натуральности. Вообще, целые рациональные уравнения с целыми коэффициентами при п переменных (п > 2 ), которые решаются в целых числах, относятся к специальному классу уравнений, имеющих название диофантовы. Диофантовы уравнения, как правило, при решении требуют особой аккуратности в ведении рассуждений из-за возможно большого количества случаев и использования приличного математического аппарата. В связи с этим изучение, по крайней мере, элементарной части теории таких уравнений позволит не только сформировать требуемые умения, но и расширит представления обучающихся о самой математике; ее разделах и их взаимосвязях; о проблемах, с которыми она сталкивается в своем развитии. Не случайно говорят, что к диофантовым уравнениям сводятся почти все математические задачи.
В современных условиях образовательные организации должны
предусмотреть подготовку обучающихся в соответствии с их запросами к уровню подготовки в сфере математического образования. Причем
повышенные запросы могут иметь место, поскольку за последние шесть лет в Пензенской области полная или почти полная выполнимость задания, соответствующего заданию № 18, крайне низка (таблица 1), что показывает несформированность умений исследовать построенные модели и интерпретировать полученные результаты. Между тем данные умения очень востребованы, в частности, во многих областях современных наукоемких информационных технологий, которые основаны на положениях теории чисел, частью которой как раз и является теория диофантовых уравнений. Реализовать подобную подготовку возможно с помощью включения в учебный план дополнительных курсов, например, факультативных. В этом и заключается актуальность выбранной нами темы.
...
В данной выпускной квалификационной работе была поставлена цель - спроектировать факультативный курс по диофантовым уравнениям для обучающихся 10-11 классов на основе требований ФГОС СОО. Достижение этой цели позволяет решить проблему, касающуюся обеспечения образовательных организаций указанным факультативным курсом в условиях реализации ФГОС СОО. Необходимость этого факультативного курса в старших классах средней школы обусловлена повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов, которые выбрали направления, связанные с математикой, ввиду того, что общество и государство остро нуждается в квалифицированных кадрах в области математики и ее приложений.
Для достижения цели были поставлены задачи, в процессе решения которых была проанализирована нормативно-правовая, научная, методическая и учебная литература. На основе этого мы пришли к следующим выводам.
1. Задача решения диофантовых уравнений является многогранной и не ограничивается исследованием решений только в целых числах, как некоторые источники об этом пишут. Поэтому на факультативном курсе необходимо сделать на этом акцент, а также попытаться углубиться в проблематику теории диофантовых уравнений, чтобы обучающиеся осознали трудности, с которыми сталкивались математики тех времен и которые пытаются преодолеть математики нашего времени.
2. В современной школьной программе возможно встретить элементы данной теории, но в очень сжатом и непоследовательном виде. К тому же зачастую в учебниках попадаются фактические ошибки, касающиеся как истории, так и теоретического материала. Ввиду этого, при проведении занятий рекомендуется включить исторический материал, связать изучаемые методы с конкретными личностями, достаточное время уделить работе над определениями.
3. В качестве содержательной основы факультативного курса были выбраны линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения второй степени с двумя переменными (решение этих уравнений подразумевается в целых числах). Выбор основывался на том, что это единственные два класса уравнений, для которых поиск решений больше не составляет труда для математиков. Также эти классы диофантовых уравнений являются наиболее частовстречающимися в школьных учебниках математики, но как мы отметили выше, если они и изучаются, то изучаются несистемно. По этой причине была проведена работа по систематизации всего материала, относящегося к этим двум классам уравнений. Заметим, что ни в научной, ни в методической, ни в учебной литературе, нами не была найдена полноценно представленная информация об этом: все собиралось по кусочкам.
4. В федеральном государственном образовательном стандарте среднего
общего образования отсутствует понятие факультативного курса, но есть понятие курсов по выбору. Анализ соответствующей примерной основной образовательной программы и федерального закона «Об образовании» позволил сделать вывод, что под курсами по выбору понимаются как факультативные, так и элективные курсы. Стандарт выдвигает к ним ряд требований. Например, любой курс по выбору должен обеспечить удовлетворение индивидуальных запросов, развитие личности, навыков самообразования, профессиональное самоопределение обучающихся.
Несомненно, одним из требований является и углубление, расширение, систематизация знаний в выбранной области научного знания.
5. Согласно тому же стандарту рабочая программа курса по выбору обязательно должна содержать следующие разделы: планируемые результаты освоения курса, содержание курса и тематическое планирование (с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы). На основании
требований к рабочей программе и к курсу в целом была разработана программа факультативного курса «Диофантовы уравнения» для 10 классов. В условиях профильного обучения данный курс рекомендуется для следующих профилей: технологического, естественно-научного и социально¬
экономического. Если учебный план универсального профиля предусматривает углубленное изучение математики, то рекомендация распространяется и на него.
6. Поскольку методологической основой ФГОС СОО является системно-деятельностный подход, то для его реализации на факультативных занятиях необходимо применять современные педагогические технологии, обеспечивающие развитие активности и познавательной самостоятельности обучающихся. Реализацию системно-деятельностного подхода можно увидеть на примере составленной технологической карты занятия по теме «Решение неполных диофантовых уравнений ах2 + Ьху + су2+ dx + еу + f = 0, где обязательно Ь Ф 0, а = 0 или с = 0 методом выделения целой части».
Итак, полученные результаты свидетельствуют о решении в полном объеме поставленных задач. На основании этого можем заключить, что заявленная цель выпускной квалификационной работы достигнута.
Таким образом, мы подтверждаем практическую значимость нашей работы, которая состоит в том, что ее результаты можно будет использовать в образовательных организациях для обеспечения индивидуальных запросов обучающихся, заключающихся в повышении уровня их математической подготовки.
Для достижения цели были поставлены задачи, в процессе решения которых была проанализирована нормативно-правовая, научная, методическая и учебная литература. На основе этого мы пришли к следующим выводам.
1. Задача решения диофантовых уравнений является многогранной и не ограничивается исследованием решений только в целых числах, как некоторые источники об этом пишут. Поэтому на факультативном курсе необходимо сделать на этом акцент, а также попытаться углубиться в проблематику теории диофантовых уравнений, чтобы обучающиеся осознали трудности, с которыми сталкивались математики тех времен и которые пытаются преодолеть математики нашего времени.
2. В современной школьной программе возможно встретить элементы данной теории, но в очень сжатом и непоследовательном виде. К тому же зачастую в учебниках попадаются фактические ошибки, касающиеся как истории, так и теоретического материала. Ввиду этого, при проведении занятий рекомендуется включить исторический материал, связать изучаемые методы с конкретными личностями, достаточное время уделить работе над определениями.
3. В качестве содержательной основы факультативного курса были выбраны линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения второй степени с двумя переменными (решение этих уравнений подразумевается в целых числах). Выбор основывался на том, что это единственные два класса уравнений, для которых поиск решений больше не составляет труда для математиков. Также эти классы диофантовых уравнений являются наиболее частовстречающимися в школьных учебниках математики, но как мы отметили выше, если они и изучаются, то изучаются несистемно. По этой причине была проведена работа по систематизации всего материала, относящегося к этим двум классам уравнений. Заметим, что ни в научной, ни в методической, ни в учебной литературе, нами не была найдена полноценно представленная информация об этом: все собиралось по кусочкам.
4. В федеральном государственном образовательном стандарте среднего
общего образования отсутствует понятие факультативного курса, но есть понятие курсов по выбору. Анализ соответствующей примерной основной образовательной программы и федерального закона «Об образовании» позволил сделать вывод, что под курсами по выбору понимаются как факультативные, так и элективные курсы. Стандарт выдвигает к ним ряд требований. Например, любой курс по выбору должен обеспечить удовлетворение индивидуальных запросов, развитие личности, навыков самообразования, профессиональное самоопределение обучающихся.
Несомненно, одним из требований является и углубление, расширение, систематизация знаний в выбранной области научного знания.
5. Согласно тому же стандарту рабочая программа курса по выбору обязательно должна содержать следующие разделы: планируемые результаты освоения курса, содержание курса и тематическое планирование (с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы). На основании
требований к рабочей программе и к курсу в целом была разработана программа факультативного курса «Диофантовы уравнения» для 10 классов. В условиях профильного обучения данный курс рекомендуется для следующих профилей: технологического, естественно-научного и социально¬
экономического. Если учебный план универсального профиля предусматривает углубленное изучение математики, то рекомендация распространяется и на него.
6. Поскольку методологической основой ФГОС СОО является системно-деятельностный подход, то для его реализации на факультативных занятиях необходимо применять современные педагогические технологии, обеспечивающие развитие активности и познавательной самостоятельности обучающихся. Реализацию системно-деятельностного подхода можно увидеть на примере составленной технологической карты занятия по теме «Решение неполных диофантовых уравнений ах2 + Ьху + су2+ dx + еу + f = 0, где обязательно Ь Ф 0, а = 0 или с = 0 методом выделения целой части».
Итак, полученные результаты свидетельствуют о решении в полном объеме поставленных задач. На основании этого можем заключить, что заявленная цель выпускной квалификационной работы достигнута.
Таким образом, мы подтверждаем практическую значимость нашей работы, которая состоит в том, что ее результаты можно будет использовать в образовательных организациях для обеспечения индивидуальных запросов обучающихся, заключающихся в повышении уровня их математической подготовки.
Подобные работы
- ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ В 8 И 11 КЛАССАХ
Дипломные работы, ВКР, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4900 р. Год сдачи: 2017 - Изучение неопределенных уравнений с целыми коэффициентами на факультативных занятиях в школе
Бакалаврская работа, педагогика. Язык работы: Русский. Цена: 4315 р. Год сдачи: 2021 - «Изучение неопределенных уравнений с целыми коэффициентами на факультативных занятиях в школе»
Бакалаврская работа, математика. Язык работы: Русский. Цена: 4800 р. Год сдачи: 2021