ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 4
1.1. Устойчивость по Ляпунову 4
1.2. Циклы. Бифуркация. Поведение траекторий - узлы,
седла, центры и фокусы 6
1.3. Аттракторы. Странные аттракторы 15
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОЛОГИИ,
ИММУНОЛОГИИ И ЭПИДЕМИОЛОГИИ 19
2.1. Математическая модель экологии 19
2.1.1. Система Лотки-Вольтерры «хищник-жертва» 19
2.1.2. Построение математической модели «хищник-жертва» 23
2.1.3. Система «хищник-жертва» с учётом внутривидовой
конкуренции 28
2.2. Математическая модели иммунологии и медицины 31
3. УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ 36
3.1. Уравнения реакции-диффузии в экологии 36
3.2. Решение модельной задачи 1 43
3.1. Решение модельной задачи 2 44
3.2. Уравнения реакции-диффузии в иммунологии и медицине 46
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 50
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Листинг программы решения системы уравнений реакции-диффузии в экологии 52
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Листинг программы решения системы уравнений реакции-диффузии в экологии
С каждым годом все большая заинтересованность проявляется к многокомпонентным системам уравнений реакции-диффузии. Подобные системы применяются, чтобы описать, как пространственно-временные структуры появляются и развиваются в нелинейных средах разнообразной природы.
Уравнения диффузии - это частный вид дифференциальных уравнений в частных производных. С помощью данных уравнений выясняется, как концентрация вещества (или других объектов) зависит от времени и пространственных координат. Причем в уравнениях изначально задаются коэффициенты, которые определяют пропускную способность среды для диффузии.
Данная работа посвящена исследованию систем уравнений реакции-диффузии в экологии, иммунологии и эпидемиологии. В работе определены основные понятия качественной теории дифференциальных уравнений, приведена классификация особых точек и описаны основополагающие модели экологии и медицины.
В результате выполнения работы были изучены основные вопросы, связанные с качественной теорией дифференциальных уравнений.
Были рассмотрены модель взаимодействия двух популяций Лотки-Вольтерры и модель инфекционного заболевания, предложенная Г. И. Марчуком. А именно, были описаны основные компоненты уравнений, был осуществлен переход к безразмерному виду, найдены стационарные решения, которые затем исследованы на устойчивость.
Также в работе были исследованы системы уравнений реакции-диффузии в экологии и медицине. Было определено, как коэффициенты диффузии влияют на устойчивость систем. Для модели Лотки-Вольтерры были найдены состояния, при которых система является устойчивой и неустойчивой.
