ВВЕДЕНИЕ 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 5
1.1. Введение в дифференциальные уравнения дробного порядка 5
1.2. Существование и единственность решения 6
1.3. Постановка задачи 13
1.4. Механика вязкоупругих тел 15
1.5. Дробно-дифференциальная модель Максвелла 17
1.6. Дробно-дифференциальное обобщение модели Кельвина 19
1.7. Стандартная модель и ее обобщение 20
1.8. Модель Бэгли - Торвика 22
1.9. Модель Работнова 23
1.10. Теория Рауса 25
1.11. Динамический подход 27
1.12. Составные механические модели 30
1.13. Течение вязкоупругой среды 33
1.14. Анализ математических моделей вязкоупругих тел с операторами
дробного и целочисленного интегро-дифференцирования 36
2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 39
2.1. Описание алгоритма 39
2.2. Модельная задача 42
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 45
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 46
ПРИЛОЖЕНИЕ А Реализация схемы типа «предиктор-корректор» для численного исследования дробной реологической
модели вязкоупругого тела
Реология -это наука о поведении различных текучих и пластичных тел при механическом нагружении. Различают некоторое количество реологических моделей. Основной классификацией является отличие ньютоновских и неньютоновских сред. Исходные понятия реологии - ньютоновская жидкость, вязкость которой не зависит от режима деформирований, и идеально упругое тело, в ко-тором в каждый момент времени величина деформации пропорциональна приложенному напряжению.
Вязкость - это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одного слоя жидкости относительно другого. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Среды, для которых в рамках поставленной задачи пренебрегают вязкостью - называют идеальными.
Упругие тела и вязкие жидкости существенно различаются своими свойствами при деформации. Упругие деформируемые тела после снятие приложенных нагрузок возвращаются к своему естественному состоянию. В отличие от них несжимаемые вязкие тела совсем не имеют тенденции возвращаться после снятия нагрузки в исходное положение.
Поведение материала, которое объединяет в себе оба эти свойства (упругости, вязкости) называют вязкоупругими. Хотя вязкоупругие материала чувствительны к температуре, последующее изложение ограничивается условиями изотермии и температура входит в уравнения только как параметр.
Идея о распространении интегрирования и дифференцирования на нецелые порядки существует с самого зарождения интегрального и дифференциального исчислений. Однако, несмотря на обширную область возможного применения, до недавнего времени этой области уделялось мало внимания. К примеру, дробное исчисление используется в моделях вязкоупругих тел, сплошных сред с памятью, трансформации температуры и влажности в слоях атмосферы, в уравнениях диффузии и в других областях.
Как и большинство других интегро-дифференциальных, дробно-интегральные и дробно-дифференциальные уравнения не решаются точно. В связи с этим появляется необходимость в построении приближенных методов их решения.
Большой вопрос вызывает целесообразность применения дробных реологических моделей. Для этого в выполняемой работе рассмотрим не только распространенные линейные (нелинейные) модели, но и сравним их с целочисленными моделями.
В работе были рассмотрены и изучены основные математические дробно-реологические модели вязкоупругих тел. Приведено определение вязкоупругости и основных ее свойств.
На основе изученного материала можно вывести целесообразность использования математических моделей с дробными операторами интегро-дифференцирования в теории вязкоупругости. Основное преимущество дробной модели заключается в том, что она, имея всего 4 параметра, дает вдвое меньшую погреш¬ность, чем модель с целочисленным интегральным оператором, обладающую се¬мью параметрами.
Результаты применения реализованного метода типа «предиктор-корректор» к рассматриваемой задачи говорят о рассматриваемой стабильной погрешности с нужным порядком. Сравнивая между собой неравномерное и равномерное разбиение, можно отметить чуть лучшую точность первого, это связано с тем, что оно лучше учитывает поведение функции в начальных точках, ведь именно эти значения используются во всех остальных итерациях.
