Введение
1. Математическая модель потенциального барьера 4
1.1. Граница между проводником и внешней средой 4
1.2. Треугольный барьер 4
1.3. Барьер сил изображения 5
2. Методы вычисления прозрачности 7
2.1. Определение коэффициента прохождения 7
2.2. Метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна 7
2.3. Численные методы. Условия сопряжения 9
2.4. Векторные вычисления 10
2.5. Другие методы 11
2.6. Результаты 11
3. Моделирование спектров 13
3.1. Внутренние распределения 13
3.2. Внешние распределения 14
3.3. Переход к статистическому смыслу 15
4. Заключение 18
Приложения
В настоящее время изучение квантовых явлений и их применение в различных
областях науки и техники являются одними из самых актуальных и перспективных
направлений. Одним из важных явлений квантовой механики, которое имеет фундаментальное значение для понимания поведения частиц на микроскопическом уровне,
является прохождение электрона через потенциальный барьер. Данный процесс играет
ключевую роль в таких явлениях как полевая электронная эмиссия, эффект Джозефсона, альфа-распад и при переносе заряда в разнообразных многослойных твердотельных
структурах.
Полевой электронной эмиссией (ПЭЭ) называют процесс испускания электронов
под действием сильного электрического поля. Данный механизм не требует предварительного возбуждения частиц, как это происходит в случае фотоэффекта или термоэмиссии [6].
Источники электронов, работающие на принципах ПЭЭ, давно стали прекрасным
инструментом изучения как состояния поверхности катода в полевом микроскопе [8],
так и анода в сканирующем туннельном микроскопе [10].
Квантовый барьер представляет собой область пространства, где потенциальная
энергия становится больше полной энергии частицы, создавая препятствие для ее движения. С точки зрения современной теории, электрон проявляет как корпускулярные,
так и волновые свойства. В макроскопическом масштабе, например, в ускорителях заряженных частиц, можно рассматривать заряд как частицу, подчиняющуюся законам
движения в форме Ньютона–Эйнштейна. В микроскопическом подходе движение частицы уже следует связать с плотностью потока вероятности, которая может быть определена из решения уравнения Шрёдингера [9]. Это означает, что даже если электрон
имеет недостаточную энергию для преодоления барьера, существует в общем случае
ненулевая вероятность того, что он всё же проникнет сквозь него.
Изучение туннельного явления не только позволяет лучше понять природу квантовых систем, но и имеет важное практическое значение для различных областей, таких
как электроника, оптика, материаловедение и нанотехнологии [4, 8].
Целью настоящей работы является изучение процесса прохождения электрона
через потенциальный барьер.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
• изучить модели потенциальных барьеров;
• провести анализ методов вычисления вероятности прохождения барьера;
• рассмотреть процесс формирования потока частиц на барьер;
• осуществить моделирование вылета частицы со случайным значением энергии.
В результате проделанной работы была рассмотрена задача о прохождении электроном потенциального барьера на границе проводника с вакуумом в ходе процесса
полевой электронной эмиссии.
После литературного обзора среди возможных математических моделей барьера
были выбраны две классические: треугольный и барьер сил изображения. Причина —
существенное отличие в их форме, которое сказалось на количественных результатах.
Были рассмотрены варианты вычисления коэффициента прохождения электроном рассмотренных барьеров с помощью квазиклассического метода Вентцеля–
Крамерса–Бриллюэна и посредством численного подхода к решению задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой сводится основное
уравнение нерелятивистской квантовой теории — уравнение Шрёдингера. Алгоритмы
решения были реализованы на языке программирования Python в среде PyCharm с использованием встроенных библиотек, что потребовало их дополнительного изучения и
анализа.
Дальнейшая разработка алгоритмов и их реализации касалась формирования
плотностей потоков заряженных частиц внутри эмиссионного источника и снаружи.
На основе данных энергетических спектров были проанализированы плотности распределения вероятностей получить в ходе одного эмиссионного акта случайные значения
полной энергии электрона и частичной энергии, связанной с нормальной компонентой
импульса. Установлено, что после такого перехода, представляющего собой нормализацию спектров, различие между используемыми моделями барьеров и способами вычисления коэффициента прохождения нет практически никакой разницы для использованных параметров, отвечающих комнатной температуре и вольфрамовому образцу
катода.
Можно сделать вывод, что качественно верное описание теории полевой электронной эмиссии на основе метода ВКБ и простого треугольного барьера можно использовать как экспресс-подход для моделирования случайных значений энергии, с которыми отдельно взятая частица покидает поверхность эмиттера. Данные значения можно
использовать при анализе траекторий в эмиссионной системе с полевым источником.
Во всяком случае это касается тех вариантов, когда вкладом термически возбуждённых
электронов в плотность эмиссионного тока можно пренебречь. Данный момент требует
дальнейшего изучения, если заводить речь о перспективах дальнейших исследований.
Поставленные в начале исследования задачи можно считать выполненными, а
цель работы достигнутой.
Полученные результаты и выводы могут быть полезны для дальнейшего развития теоретических моделей и практических приложений, связанных с прохождением
электронов через потенциальные барьеры, и способствовать углубленному пониманию
физических процессов в квантовой механике.
