ВВЕДЕНИЕ 3
1 Численное решение начально-краевой задачи для уравнения
неразрывности 4
1.1 Постановка задачи 4
1.2 Одномерная задача 4
1.2.1 Неконсервативный полулагранжевый метод 4
1.2.2 Базовое тождество 6
1.2.3 Консервативный полулагранжевый метод 6
1.3 Двумерная задача 9
1.3.1 Постановка задачи 9
1.3.2 Неконсервативный полулагранжевый метод для регулярной
сетки 10
1.3.3 Неконсервативный полулагранжевый метод для
неструктурированной сетки 12
2 Вычислительные эксперименты 15
2.1 Тестовая задача №1. Неконсервативный полулагранжевый метод 15
2.2 Тестовая задача №2. Консервативный полулагранжевый метод 17
2.3 Тестовая задача №3. Неконсервативный полулагранжевый метод для
регулярной сетки 19
2.4 Тестовая задача №4. Неконсервативный полулагранжевый метод для
неструктурированной сетки 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 25
ПРИЛОЖЕНИЕ А 25
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Лагранжевые методы основаны на подходе Лагранжа к записи уравнений движения потока жидкостей и газа. В данных методах для получения дискретных аналогов уравнений используется набор узловых точек, которые перемещаются вместе со средой, что приводит к тому, что узловые точки постоянно изменяются. Роль точек могут выполнять узлы расчетной сетки или точечные частицы не связанные с сеточными линиями.
Полулагранжевый метод является способом численного решения уравнений в частных производных, описывающих процесс переноса. Данный подход начал активно развиваться с 1960-х годов и является продолжением развития метода характеристик. Полулагранжевый метод позволяет работать на фиксированной вычислительной сетке и в тоже время учитывает лагранжевую природу процесса переноса, т.е. вдоль характеристик уравнение неразрывности можно переписать в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.
Современные версии метода основаны на балансовом интегральном соотношении при переходе с одного временного слоя на следующий слой. При этом аппроксимация численного решения на каждом слое по времени раскладывается на три составляющих: аппроксимация интеграла на верхнем слое по времени, на котором решение еще не известно; построение характеристик (траекторий) с верхнего временного слоя на нижний слой; приближенное вычисление интеграла на нижнем слое по времени.
Основной недостаток полулагранжевого подхода состоит в больших вычислительных затратах при вычислении интеграла на нижнем слое по времени. Существует большое количество различных версий метода, в которых этот интеграл считается разными способами.
В представленной работе были получены следующие результаты:
1. Реализованы два варианта полулагранжевого метода для одномерного уравнения переноса.
2. Изучены средства построения треугольных сеток в среде MATLAB.
3. Реализован полулагранжевый метод для двумерного уравнения неразрывности на треугольных сетках.
4. Разработан комплекс программ в среде MATLAB, реализующие предложенные методы. Осуществлены вычислительные эксперименты на серии тестовых задач. Подтвержден первый порядок сходимости численных методов.
