Введение 3
1. Основные вспомогательные результаты 2. Песочная группа 7
2.1. Определение S1-гармонические функции 7
2.2. Двойственность по Понтрягину 10
3. Примеры 12
3.1. Луч 12
3.2. Прямая 13
3.3. Пример без кручения 14
3.4. Пример с большой песочной группой 16
Список литературы 19
Песочная модель была введена в конце 20 века для нужд теоретической физики и представляет интерес по сей день и с чисто математической точки зрения ввиду наличия связанных открытых проблем и пересечения в ней различных дисциплин [1-10]. Песочная группа для конечных графов является естественной характеристикой данной модели [1-3]. Модель для бесконечных графов уже представляла интерес [6], а песочная группа была рас-смотрена для конкретных бесконечных графов в последние годы [7,8]. В нашей работе мы определим песочную модель и песочную группу для большого класса графов, которые рас-ширяют класс конечных графов, изучим её свойства, а также приведём несколько примеров, особенно интересен пример из теоремы 3 с песочной группой с нулевым кручением.
Будем рассматривать неориентированные графы G без петель, в которых вершины разделены на сточные (назовём их множество S) и несточные, множество которых назовём Г, Г U S = V. Мы также будем считать, что индуцированный на Г подграф связен, в противном случае песочная модель на графе будет произведением песочных моделей на Г, поэтому это достаточный случай.
Определение 1. Назовём G графом ограниченного типа, если степени всех несточных вершин ограничены, а также расстояния от них до множества сточных вершин ограничены. Стоки могут иметь бесконечную степень.
Мы будем рассматривать только такие графы G, поэтому пусть степени всех вершин Г ограничены сверху целым числом C, а расстояние до S ограничено сверху целым числом г. Заметим, что в таком случае Г не более, чем счётно. Все расстояния между вершинами определяем как расстояния внутри Г (грубо говоря, если мы зашли в сток, то выйти оттуда уже не можем). Также можно ввести определения, аналогичные конечному случаю:
Определение 2. Состоянием на графе назовём ограниченную функцию ф : Г ^ Z>0. О нём стоит думать как о количестве песчинок в каждой вершине из Г.
Определение 3. Состояние ф называется стабильным, если Vv G Г p(v') < deg(v).
Определение 4. Если А - любая абелева группа, то можно ввести дискретный лапласиан А : Аг ^ Аг, определённый по правилу (Af)(v) = — deg(v)f (v) Vef (e2), где сумма берётся по всем е из E(v, Г), а е2 обозначает вершину ребра е, отличную от v. Заметим, что если сначала доопределить f нулём на стоках, то в сумме можно брать все рёбра из v , тогда слагаемых будет ровно deg v. За HA (Г) будем обозначать те f, для которых Af = 0, и называть их гармоническими функциями со значениями в A (или над A).
Определение 5. в = А(—1) - это состояние, называемое единицей Крёйца [2]. Из определения лапласиана видно, что в (v) = e(v, S).
Определение 6. Если для состояния ф для какой-то вершины v G Г выполняется ф(у} > deg(v), то в ней можно сделать обвал: вершина v отдаст по одной песчинке вдоль каждого идущего из неё ребра. Если песчинка попадает в сточную вершину, то она пропадает. Заметим, что если мы сделали несколько обвалов, и функция h показывает сколько обвалов мы сделали в каждой вершине, то получилось состояние ф + Ah.
Определение 7. Конечная или счётная последовательность обвалов в вершинах Г называется (локально-конечной) релаксацией состояния ф, если для любой вершины v G Г количество песчинок в ней стабилизируется на числе, меньшем deg(v), которое назовём ф°(у). Тогда ф° - уже стабильное состояние, которое является результатом релаксации. Для удобства ф° тоже будем называть релаксацией ф, а не только сам процесс.
Мы покажем, что любое состояние можно релаксировать с однозначно определённым результатом, поэтому обозначение ф° корректно, а также можно ввести
Определение 8. Стабильное состояние называется возвратным, если оно получается как релаксация какого-то ограниченного состояния, которое поточечно > deg.
Наконец, ещё одно техническое определение, которое поможет при характеризации возвратных состояний:
Определение 9. Пусть ф - стабильное состояние. Непустое множество F С Г называется запрещённой конфигурацией для ф, если Vv G F ф(ц) < e(v, F).
