Введение 3
Глава 1. Плоскость Лобачевского 7
1.1. Аксиоматическое определение плоскости Лобачевского 7
1.2. Основные факты геометрии Лобачевского 9
1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского 15
1.4. Модели геометрии Лобачевского 21
Глава 2. Геометрия Лобачевского в модели Пуанкаре 25
2.1. О некоторых свойствах инверсии 25
2.2. Построение модели Пуанкаре геометрии Лобачевского 30
2.3. Некоторые факты геометрии Лобачевского на полуплоскости 40
Глава 3. Организация изучения темы «Геометрия Лобачевского на евклидовой полуплоскости» 45
3.1. О факультативных занятиях в современной школе 45
3.2. Факультативный курс по теме «Геометрия Лобачевского на
евклидовой полуплоскости» 47
3.3. Конспекты занятий в рамках факультативного курса 54
Заключение 72
Список литературы 73
Приложение 75
Любая научная теория в своём становлении проходит несколько стадий: от накопления отдельных её фактов, их систематизации, выстраивания в логическую последовательность до аксиоматического изложения уже построенной на содержательном уровне теории. Одно из первых систематических изложений основ геометрии приведено в знаменитых «Началах» Евклида: написанные им 13 книг основывались на аксиоматическом методе. Так, в начале каждой главы давались определения основных понятий, приводились аксиомы и постулаты, а затем на основе этих фактов доказывались в логическом порядке теоремы. «Начала» на протяжении почти 2000 лет являлись образцом научного изложения геометрии. Особый интерес вызывал V постулат, который, в отличие от других, отличался громоздкостью формулировки:
I V. И всякий раз, когда две прямые,
^''"-'-.1 пересеченные третьей, образуют
г'у внутренние односторонние углы, сумма
I которых меньше двух прямых, они
/ Тхк—-— пересекаются, причем пересекаются с той
' стороны, с которой эта сумма меньше двух
Рисунок 1 прямых (рисунок 1).
С целью усовершенствования системы аксиом и постулатов Евклида, а именно сведения их количества до минимума, сотни геометров старались доказать V постулат как теорему, используя остальные перечисленные в книге постулаты и аксиомы и теорию, базирующуюся на них. В течение двух тысяч лет все попытки дать доказательство V постулата были безуспешны.
Проблему V постулата удалось решить лишь в XIX веке русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому. 11 февраля 1826 года он представил доклад в Казанском университете, в котором приводились рассуждении о том, что V постулат не может быть получен логическим путём из других постулатов и аксиом Евклида. Заменив данное утверждение на его отрицание и развивая в дальнейшем геометрию, он пришел к новой, логически безупречной теории (непротиворечивой теории) - неевклидовой геометрии. Его открытие подверглось большой критике со стороны современников, ведь на тот момент «новая» геометрия, не найдя ни одного практического подтверждения, противоречила устоявшимся взглядам на геометрию реального мира. Полное признание «воображаемая» геометрия получила через 12 лет после смерти Н.И. Лобачевского, когда Э. Велюрами было доказано, что она локально выполняется на псевдосфере, в то же время им были построены первые модели плоскости Лобачевского. Так, открытие неевклидовой геометрии стало одним из величайших достижений человеческой мысли, способствующих развитию других разделов математики и физики.
В настоящее время в методической литературе (например, [1], [2], [5], [10], [11]) представлены довольно обширные исследования, посвященные возможностям изучения школьниками основ неевклидовой геометрии. Эти работы обосновывают развивающий потенциал содержания геометрии Лобачевского для учащихся средней школы. Изучение гиперболической геометрии позволяет существенно усилить логический, познавательный, исторический, прикладной и общекультурный компоненты школьного математического образования, способствует развитию логического, алгоритмического, критического и толерантного мышления. В связи с этим при математической подготовке учащихся целесообразно уделять темам, касающихся геометрии Лобачевского, особое внимание. Тем не менее, в школьном курсе геометрии, излагаемом как по учебнику Атанасяна Л.С. [3], так и по учебнику Погорелова А.В. [9], проблеме V постулата посвящен лишь один пункт темы параллельных прямых. В учебнике «Геометрия, 7-9» Атанасяна Л.С. также содержится небольшое приложение, включающее в себя сведения о вкладе в развитие геометрии Н.И. Лобачевского. По этой причине возникает необходимость в изложении основ геометрии Лобачевского в форме факультативных занятий. Все вышесказанное определяет актуальность выпускной квалификационной работы.....
Геометрия Лобачевского представляет собой один из разделов вузовского курса геометрии, способствующих формированию научного мировоззрения учащихся, развитию логического, алгоритмического и толерантного мышления, а также повышению поисковой и учебной мотивации. Сегодня в условиях средней школы возможность организации изучения основ геометрии Лобачевского на уроках отсутствует. Для реализации этой идеи возникает необходимость в системной факультативной работе, проводимой под руководством педагогов, обладающих специальной подготовкой.
В ходе проведенной мной работы получены следующие результаты:
1. Изучены и проанализированы научная и учебно-методическая литература и Интернет-ресурсы по теме организации изучения неевклидовой геометрии в средней школе, а именно геометрии Лобачевского на евклидовой полуплоскости.
2. Представлено последовательное изложение теоретического материала исследования, включающее в себя аксиоматическое определение плоскости Лобачевского, доказательство основных теорем, описание построения трех её интерпретаций.
3. Детально изложено построение модели плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости и проиллюстрирована справедливость некоторых фактов геометрии Лобачевского в этой модели.
4. Разработана рабочая программа факультативного курса «Геометрия Лобачевского на евклидовой полуплоскости».
5. Составлены два конспекта занятий в рамках разработанного факультативного курса.
Полученные результаты свидетельствуют о решении всех поставленных задач исследования. Цель исследования, заключающаяся в разработке методики изучения геометрии Лобачевского на евклидовой полуплоскости в рамках факультативных занятий в средней школе, была достигнута.
