Тема: Классы групп, порождённых инволюциями путей градуированных графов

Аннотация
Каждой диаграмме Юнга можно сопоставить группу, действующую на таблицах Юнга данной формы. Если диаграмма является двустрочечной, то такая группа является симметрической или знакопеременной полного индекса. В работе показано, что если в несимметричной диаграмме три строки, то соответствующая ей группа примитивна. Также в работе дан критерий различения симметрического и знакопеременного случая для двустрочечных диаграмм в терминах двоичной записи длин двух строк.
А. М. Вершик предложил программу систематического изучения класса групп, обобщающего класс классических групп Коксетера, а именно групп, порожденных естественными инволюциями стандартных таблиц Юнга и, более общо, инволюциями пространств путей графов со свойством ромбовидности. К этому же классу относятся группы автоморфизмов нумераций частично упорядоченных множеств (см. [10]). Первые результаты в рамках этого проекта были изложены в работе [9]. Цель настоящей работы — выяснить класс изоморфности некоторых групп, графами для которых выступают интервалы в графе Юнга.
Стоит упомянуть работы, для контекста которых случай графа Юнга тоже может представлять интерес. В работе [1], посвященной изучению плоских разбиений и симметрических функций, вводятся инволюции, действующие на множестве полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы. В работе Бе- ренштейна и Кириллова [2] получены некоторые расширения инволюций Бендера—Кнута, их действие на паттернах Гельфанда—Цетлина и соотношения, которым они удовлетворяют, для изучения кусочно-линейных представлений. Среди этих соотношений особенно интересна связь инволюций Бендера—Кнута с разными комбинаторными конструкциями на множестве таблиц Юнга, например, с инволюцией Шютценберже. В работе [3] рассматриваются аналоги инволюций Бендера—Кнута, соответствующие линейным продолжениям посетов, изучаются их соотношения, свойства группы, порожденной этими инволюциями, и размер полученной группы относительно группы всех перестановок на линейных продолжениях.
В своей работе [6] я получил, что для всех двустрочечных диаграмм группа является либо знакопеременной, либо симметрической. В этой работе я продолжаю исследования случая двустрочечной диаграммы Юнга, а именно даю критерий для различения случая симметрической группы от случая знакопеременной группы. Кроме того, я исследую случай трёхстрочечных диаграмм Юнга. Для него я показываю примитивность групп, соответствующих несимметричным диаграммам.

Купить

Теорема. Если известно, что группа GM соответствующая диаграмме ц = (3, 3,1) является примитивной, то для любой трёхстрочечной диаграммы Л = (п1, п2, п3), где п1 ^ 4, п2 ^ 2, верно, что группа Gx примитивна.
Доказательство. Обозначим те таблицы формы Л = (n1,n2,n3), где |Л| = п, у которых число п записано в первой строчке, за T1. Аналогично обозначим за T2,T3 таблицы, в которых п записано во второй и в третьей строчке соответс- венно. Мы не рассматриваем таблицы с тремя одинаковыми строчками (k, k, k), поскольку группа для них в точности совпадает с группой для формы (k,k,k — 1). Таким образом, хотя бы два из трёх множеств Tj не пусты. Пусть нашлось нетривиальное GA-инвариантное разбиение. В таком случае рассмотрим произвольный блок Д. Обозначим Д, = Tj О Д. Для каждого i множество Д, либо состоит из нуля элементов, либо из одного элемента, либо совпадает с Ti, поскольку группа GA = (щ | 2 ^ i ^ п — 2) имеет Tj в качестве своих орбит, и на каждой орбите действует примитивно по предположению индукции. Если нашлись такие i, j, что Д, = Ti и | Aj | = 1, то в силу транзитивности действия группы G'x на Tj мы можем найти такой элемент g Е G'x, что gAj О Aj = 0 и, поскольку всегда выполнено gAi = Ai, множество Д не может являться блоком. Отсюда получаем, что блок есть либо объединение некоторых из Tj, либо объединение не более чем одноэлементных подмножеств Ti .
Рассмотрим случай, когда блок Д есть объединение некоторых из Tj. Тогда ага-1Д также является блоком. Назовём его Д'. Поскольку Д] ^ 4 для всех i, блок Д' также является объединением некоторых из Tj. Но это значит, что вся группа Gx сохраняет разбиение Д, Д', SYT(Л) (Д U Д'). Это противоречит транзитивности Gx. Остается лишь случай, когда Д — объединение некоторых не более чем одноэлементных подмножеств Tj . В этом случае рассмотрим блок, в котором участвует стандартная минимальная относительно лексикографического порядка таблица t0. Поскольку все блоки имеют одинаковую мощность, они все содержат по крайней мере два элемента в предположении, что группа не примитивна.
Пусть в блоке с ней есть ещё ровно один элемент. Назовём его t1. Элементы а2,а3,... , аП1 _1 стабилизируют таблицу t0. Значит, они должны стабилизировать таблицу t1. Это значит, что первые п1 чисел в t1 находятся в одной строке или одном столбце. В одном столбце они находиться не могут, поэтому они находятся в одной строке. Поэтому у t0 и t1 одинаковое начало, состоящее из первой строки, а конец является некоторой двустрочеченой таблицей, на которых инволюции arai+1,... , an-1 действуют по крайней мере дважды транзитивно. Отсюда получаем, что to и t1 не могут образовывать блок.
Пусть в блоке с t0 содержатся ещё два элемента. Назовём их t1 и t2. Аналогично предыдущему случаю элементы a2, a3,... , ani-1 стабилизируют таблицу t0. Значит, либо t0, t1 и t2 имеют общее начало размера п1 (одинаковую первую строку), либо для любого 2 ^ i ^ п1 — 1 элемент ai стабилизирует обе таблицы t1,t2, либо ai меняет их между собой. Если хоть для какого-то i элемент ai поменял их между собой, то у t1,t2 число n записано в одной и той же строчке, и поэтому они из одного Ti, а такого быть не может по предположению об устройстве блока. Остается только ситуация, когда у всех трех таблиц первая строка заполнена числами от 1 до n1. И так же, как в предыдущем абзаце концы трёх таблиц являются некоторыми двустрочечными таблицами, на которых инволюции ani+1,..., an-1 действуют по крайней мере дважды транзитивно. И тогда t0, t1, t2 не могут образовывать блок.
Купить