Аннотация 3
1 Введение 3
2 Определения и формулировка основных результатов 4
2.1 Различение знакопеременности и симметричности 6
2.2 Примитивность в трёхстрочечном случае 6
3 Доказательство основных результатов 7
3.1 Доказательство теорем 2.2 и 2.3 7
3.2 Доказательство теоремы 2.4 12
Аннотация
Каждой диаграмме Юнга можно сопоставить группу, действующую на таблицах Юнга данной формы. Если диаграмма является двустрочечной, то такая группа является симметрической или знакопеременной полного индекса. В работе показано, что если в несимметричной диаграмме три строки, то соответствующая ей группа примитивна. Также в работе дан критерий различения симметрического и знакопеременного случая для двустрочечных диаграмм в терминах двоичной записи длин двух строк.
А. М. Вершик предложил программу систематического изучения класса групп, обобщающего класс классических групп Коксетера, а именно групп, порожденных естественными инволюциями стандартных таблиц Юнга и, более общо, инволюциями пространств путей графов со свойством ромбовидности. К этому же классу относятся группы автоморфизмов нумераций частично упорядоченных множеств (см. [10]). Первые результаты в рамках этого проекта были изложены в работе [9]. Цель настоящей работы — выяснить класс изоморфности некоторых групп, графами для которых выступают интервалы в графе Юнга.
Стоит упомянуть работы, для контекста которых случай графа Юнга тоже может представлять интерес. В работе [1], посвященной изучению плоских разбиений и симметрических функций, вводятся инволюции, действующие на множестве полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы. В работе Бе- ренштейна и Кириллова [2] получены некоторые расширения инволюций Бендера—Кнута, их действие на паттернах Гельфанда—Цетлина и соотношения, которым они удовлетворяют, для изучения кусочно-линейных представлений. Среди этих соотношений особенно интересна связь инволюций Бендера—Кнута с разными комбинаторными конструкциями на множестве таблиц Юнга, например, с инволюцией Шютценберже. В работе [3] рассматриваются аналоги инволюций Бендера—Кнута, соответствующие линейным продолжениям посетов, изучаются их соотношения, свойства группы, порожденной этими инволюциями, и размер полученной группы относительно группы всех перестановок на линейных продолжениях.
В своей работе [6] я получил, что для всех двустрочечных диаграмм группа является либо знакопеременной, либо симметрической. В этой работе я продолжаю исследования случая двустрочечной диаграммы Юнга, а именно даю критерий для различения случая симметрической группы от случая знакопеременной группы. Кроме того, я исследую случай трёхстрочечных диаграмм Юнга. Для него я показываю примитивность групп, соответствующих несимметричным диаграммам.
Теорема. Если известно, что группа GM соответствующая диаграмме ц = (3, 3,1) является примитивной, то для любой трёхстрочечной диаграммы Л = (п1, п2, п3), где п1 ^ 4, п2 ^ 2, верно, что группа Gx примитивна.
Доказательство. Обозначим те таблицы формы Л = (n1,n2,n3), где |Л| = п, у которых число п записано в первой строчке, за T1. Аналогично обозначим за T2,T3 таблицы, в которых п записано во второй и в третьей строчке соответс- венно. Мы не рассматриваем таблицы с тремя одинаковыми строчками (k, k, k), поскольку группа для них в точности совпадает с группой для формы (k,k,k — 1). Таким образом, хотя бы два из трёх множеств Tj не пусты. Пусть нашлось нетривиальное GA-инвариантное разбиение. В таком случае рассмотрим произвольный блок Д. Обозначим Д, = Tj О Д. Для каждого i множество Д, либо состоит из нуля элементов, либо из одного элемента, либо совпадает с Ti, поскольку группа GA = (щ | 2 ^ i ^ п — 2) имеет Tj в качестве своих орбит, и на каждой орбите действует примитивно по предположению индукции. Если нашлись такие i, j, что Д, = Ti и | Aj | = 1, то в силу транзитивности действия группы G'x на Tj мы можем найти такой элемент g Е G'x, что gAj О Aj = 0 и, поскольку всегда выполнено gAi = Ai, множество Д не может являться блоком. Отсюда получаем, что блок есть либо объединение некоторых из Tj, либо объединение не более чем одноэлементных подмножеств Ti .
Рассмотрим случай, когда блок Д есть объединение некоторых из Tj. Тогда ага-1Д также является блоком. Назовём его Д'. Поскольку Д] ^ 4 для всех i, блок Д' также является объединением некоторых из Tj. Но это значит, что вся группа Gx сохраняет разбиение Д, Д', SYT(Л) (Д U Д'). Это противоречит транзитивности Gx. Остается лишь случай, когда Д — объединение некоторых не более чем одноэлементных подмножеств Tj . В этом случае рассмотрим блок, в котором участвует стандартная минимальная относительно лексикографического порядка таблица t0. Поскольку все блоки имеют одинаковую мощность, они все содержат по крайней мере два элемента в предположении, что группа не примитивна.
Пусть в блоке с ней есть ещё ровно один элемент. Назовём его t1. Элементы а2,а3,... , аП1 _1 стабилизируют таблицу t0. Значит, они должны стабилизировать таблицу t1. Это значит, что первые п1 чисел в t1 находятся в одной строке или одном столбце. В одном столбце они находиться не могут, поэтому они находятся в одной строке. Поэтому у t0 и t1 одинаковое начало, состоящее из первой строки, а конец является некоторой двустрочеченой таблицей, на которых инволюции arai+1,... , an-1 действуют по крайней мере дважды транзитивно. Отсюда получаем, что to и t1 не могут образовывать блок.
Пусть в блоке с t0 содержатся ещё два элемента. Назовём их t1 и t2. Аналогично предыдущему случаю элементы a2, a3,... , ani-1 стабилизируют таблицу t0. Значит, либо t0, t1 и t2 имеют общее начало размера п1 (одинаковую первую строку), либо для любого 2 ^ i ^ п1 — 1 элемент ai стабилизирует обе таблицы t1,t2, либо ai меняет их между собой. Если хоть для какого-то i элемент ai поменял их между собой, то у t1,t2 число n записано в одной и той же строчке, и поэтому они из одного Ti, а такого быть не может по предположению об устройстве блока. Остается только ситуация, когда у всех трех таблиц первая строка заполнена числами от 1 до n1. И так же, как в предыдущем абзаце концы трёх таблиц являются некоторыми двустрочечными таблицами, на которых инволюции ani+1,..., an-1 действуют по крайней мере дважды транзитивно. И тогда t0, t1, t2 не могут образовывать блок.
