1 Введение 1
1.1 Инварианты конечного порядка [1] 1
1.2 Хордовые диаграммы и весовые системы 1
1.3 Весовые системы, порожденные алгебрами Ли [1] 3
1.4 Гипотеза Ландо 4
Основная часть
2.1 Инвариант ф и связь с ws[(2) 5
2.2 Выражение для пунктирного графа 12
2.3 Инварианты Татта-Гротендика 13
Изучая инварианты ориентированных узлов, В. Васильев ввел понятие инвариантов конечного порядка. Для этого любой данный инвариант сперва доопределяется на сингулярных узлах, где разрешено конечное число трансверсальных двойных точек. Каждая такая особенность может быть разрешена двумя способами локальным шевелением узла в окрестности самопересечения. Этим разрешениям сопоставляется знак ±1, и значение инварианта продолжается как знакопеременная сумма значений инварианта на всевозможных разрешениях всех сингулярностей. Инвариант называется инвариантом порядка k, если он обращается в ноль на всех узлах с хотя бы k + 1 особенностью, но не является нулем на каком-то узле с k особенностями.
По теореме Васильева-Концевича фактор пространства инвариантов узлов порядка < n по пространству инвариантов порядка < n — 1 изоморфен фактору пространства весовых систем порядка < n по пространству весовых систем порядка < n — 1. Также изоморфны соответствующие градуированные биалгебры. Здесь весовые системы порядка n — функции на хордовых диаграммах с n хордами, удовлетворяющих специальным соотношениям. В связи с этим есть интерес в исследовании весовых систем самих по себе.
У теоремы Васильева-Концевича есть две основные формулировки: с обычными весовыми системами (с 1T- и 4T-соотношениями) и оснащенными весовыми системами (только с 4T- соотношениями). В рамках данного текста весовые системы предполагаются оснащенными.
^(G) в соответствии с определением продолжается на графы с петлями и кратными ребрами.
Утверждение 2.4. На пунктирных графах ^(G) — значение инварианта Татта-Гротендика [10] в точке (у,х,у,а,в) = (1, — 8, Г 4, —1).
Доказательство.
.
1. Пусть Dn — дискретный граф на n вершинах. Тогда φ(Dn) = φ( )
n =
3
8
n
.
2. Пусть e — мост. Покажем:
φ
u
v
= −
1
8
φ
u
v
!
⇐⇒ − φ
u
v
+
1
4
φ
u
v
!
⇐⇒ = −
1
8
φ
u
v
!
⇐⇒
⇐⇒ φ
u
v
=
3
8
φ
u
v
!
.
Оценим вклад произвольной раскраски в графе в правой части:
1
8
h
u
v
!
= h
u
v
Но в левой части таких вкладов в 3 раза больше, так как цвета двух вершин совпадают только в трети случаев.
3. Пусть e — пунктирная петля, ez — такая же сплошная. Тогда ^(GUe) = ^(G)+^(GUez) = ф(С), так как вершина со сплошной петлей не может быть покрашена.
4. Пусть e — ребро между различными вершинами. Покажем:
1 /<иП~У>
ф Ц-Д = ф :.... ' + 4 ф
Знаем:
Достаточно понять:
(® (®
Ф I ) = Ф I ) •
r-> /гч _ _ _ _ _ 1 W / /Z'-f _|E| IV| /Z'-f
Замечание. Функция ф единственна среди всевозможных функции y(G) = c1 c2 X3(G), для которых ДД) = Ws[(2) (G)(t) для t G R.
Действительно:
• Д(») = 3c2 = t ^ C2 = 3.
• fi(G-^) = 2c1C2^(G') = -1 fi(G) ^ ci = -3.
• Д( A) = Д 1 )36 = - — = -1 => t = 3
• ‘O/V 4 6 32 4 ^ L 8.
• C1 = — 2, C2 = 1 ^ ДД) = (—2)|E| (8)| I X3(G) =
Похожим образом получается единственность, если рассматривать функции вида Д (G) = JEUVI G
C1 C2 Xk(G).
