Глава 1. Введение 3
1.1. Гауссовские процессы 4
1.2. Стационарные и изотропные гауссовские процессы на
евклидовых пространствах 4
Глава 2. Пространства взвешенных графов 6
Глава 3. Изотропные гауссовские процессы на декартовом произ¬ведении простых циклов 8
3.1. Автоморфизмы 9
3.2. Вид изотропного ядра 10
3.3. Соотношение между классами изотропных и Ф-ядер .... 11
3.4. Эффективное вычисление изотропных ядер 13
3.5. Численная аппроксимация ядер изотропного процесса ... 16
3.6. Эксперименты 17
Глава 4. Изотропные гауссовские процессы на декартовом произ¬ведении полных графов 18
4.1. Вид изотропного ядра 18
4.2. Соотношение между классами изотропных и Ф-ядер 20
4.3. Эксперименты 21
Заключение 21
Благодарности 22
Список литературы 22
Основанные на гауссовских процессах модели бывают полезны в задачах, где требуется оценить неопределённость предсказаний. Особенно это
актуально в режиме небольшого количества данных для обучения. Такие примеры можно найти, например, в задачах оптимизации [3] или машинного
обучения, в частности обучении с подкреплением [8]. В практических приложениях зачастую важно определять гауссовские процессы на пространствах
со структурами, отличными от евклидовых. В качестве примера таких пространств можно привести римановы многообразия [4] или графы [1]. Геометрическая структура пространства представляет собой важную информацию,
которая может существенно повысить качество создаваемых моделей, что
делает такие процессы интересными для исследования.
Важным подклассом гауссовских процессов ялвяются изотропные процессы — процессы, распределения которых инвариантны относительно автоморфизмов пространства, на котором они определены. Эти процессы также
имеют практическую значимость, поскольку создаваемая модель становится
устойчивой к естественному классу преобразований входных данных.
В данной работе мы исследуем изотропные гауссовские процессы, определенные на некоторых пространствах взвешенных графов, где веса принимают значения из конечного множества. Случай, когда множество весов состоит
всего из двух элементов, рассмотрен в статье [1]. Настоящая работа является
обобщением на случай, когда веса могут принимать более двух значений. Такой подход особенно полезен, например, в задачах моделирования молекул,
где связи между атомами удобно описывать графами с весами, отражающими
характер этих связей. Для рассматриваемых пространств ранее в курсовой
работе был представлен общий вид изотропных процессов, в текущей статье
дополнительно предлагаются эффективные алгоритмы для их вычисления,
методы аппроксимации, а также некоторые дополнительные факты о взаимосвязях с другими важными подклассами изотропных ядер.
В рамках данной работы были рассмотрены некоторые методы определения изотропных гауссовских процессов на графах с конечным множеством
весов. В результате удалось не только вывести общие формулы для ядер таких
процессов, но и предложить алгоритм их эффективного вычисления. Это является значительным результатом, ведь важным мотивом для таких исследо-
21ваний выступает их практическая применимость. Проведенные эксперименты
также продемонстрировали преимущество предложенных процессов для ряда задач. Мы надеемся, что данная работа позволила глубже понять задачи,
стоящие перед исследователями в этой области, и надеемся на дальнейшее
развитие этой темы в академическом сообществе.
