Введение 3
Глава 1. Реконструкция топологии 4
Глава 2. C*—алгебры и их спектр 9
2.1. Общие сведения 9
2.2. AF-алгебры и конечные То пространства 11
2.3. Реконструкция алгебры непрерывных функций 17
Глава 3. Спектральные тройки 19
3.1. Конечные спектральные тройки 22
3.2. Связность Леви-Чивиты 24
Список литературы 26
Классические решения оптимизационных задач подразумевают нахождение (локальных) минимумов скалярных функций на римановых многообразиях при помощи методов градиентного спуска. Для их реализации необходима связность Леви-Чивиты, смысл которой в условиях наличия только конечного набора данных о многообразии не столь прозрачен. Для нахождения связности и прояснения её смысла предлагается использовать язык некоммутативной геометрии в смысле Конна [13]. Причин для такого выбора несколько. Во-первых, на языке некоммутативной геометрии возможно единообразно описывать как классические объекты дифференциальной геометрии, так и структурно более сложные объекты: конечные и метрические пространства; пространства с внутренними симметриями, используемые для описания физики частиц [34]; фракталы и всюду плотные слоения; даже пространства вещественной размерности [24].
Во-вторых, что более важно, данный язык давно прилагается к задачам дискретной аппроксимации: исследование некоммутативных решёток и их ассоциированных с ними алгебр [17, 6], в частности, исследование ку- бикизированных многообразий; исследование некоммутативных метрик на конечных пространствах [23]; построение некоммутативнхе аппроксимаций гладкого многообразия через триангуляции [33]; построение теории квантовой гравитации через случайные матрицы [3, 2]; построение спектральных усечений многообразий и исследование вопросов сходимости в смысле Громова-Хаусдорфа для квантовых метрических пространств [35].
В данной работе язык некоммутативной геометрии используется для построения аппроксимации пространства, сведения о котором представлены облаком точек. В первой главе рассматривается построение по такому набору данных последовательности конечных То пространств, пределом которой является пространство, содержащее исходное в качестве подмножества замкнутых точек и, сверх того, гомотопически эквивалентное ему. Во второй главе рассматривается построение по полученному набору пространств последовательности конечномерных алгебр, аппроксимирующих алгебру непрерывных функций на исходном пространстве. Дано явное описание элементов последовательности конечномерных алгебр, что может быть полезным для вычислений. В третьей главе к построенной системе алгебр прилагаются передовые методы из теории некоммутативных пространств. Спектральные тройки можно рассматривать как обобщение римановых многообразий, однако на них можно смотреть также как на представителей K-гомологических классов заданной алгебры, что существенно упрощает построение конечных спектральных троек, приближающих как в когомологическом, так и в метрическом смыслах некоторую спектральную тройку. Для конечных спектральных троек же известно, как ассоциировать с ней билинейную риманову метрику на модуле 1-форм, для которой можно вычислять связность Леви-Чивиты по формуле Кошуля. Основным результатом работы является построение последовательности конечных спектральных троек, ассоциированных с заданным облаком точек, к элементам которой применимы теоремы существования и единственности связности Леви-Чивиты.
Для спектральных троек можно дать определение (псевдо)римановой метрики:
Определение. Пусть E := QpA - бимодуль 1-форм. Тогда отображение д е HomA(E E, A) будем называть (псевдо)римановой метрикой, если
1. Оно симметрично д(ш 0 п) = д(п 0 ш);
2. Оно невырождено ш ^ д(ш 0 —) -задаёт изоморфизм E и E*.
Более того, для спектральной тройки существует каноничная метрика [9] такая, что Тг(д(ш 0 n)a|D| — n) = Тг(ш*na|D|—n), Va е A. Также заметим, что в силу конечномерности построенной спектральной тройки, она автоматически является ручной(tame), а потому для неё существует и единственна связность Леви-Чивиты [9].
Определение. (Правой) Связностью на модуле 1-форм QpAбудем называть C-линейное отображение V: QpA ^ QpA 0 QpA такое, что V(wa) = V(w)a + w 0 d(a), Vw G QpA, a G A.
Более того, для векторных полей над A имеется формула Кошуля.
Определение. Модулем векторных полей будем называть X(A) = {g(w0 —)|w G QpA} С HomA(QpA, A).
Очевидно, что X(A) является Z(A) бимодулем и верно [10], что X G X(A) действует как деривация на A - a^ X (da) G Der(A). В силу этого на X (A) задана скобка Ли.
Определение. Ковариантной связностью будем называть отображение V из X(A)2в E*, заданное уравнением
VyX(w) := Y(d(X(w))) — (X 0 Y)(V(w))
Далее gобозначим риманову метрику, перенесённую на E* изоморфиз¬мом из второго пункта определения. Тогда верно следующее [10]
Теорема. Для ручной спектральной тройки, (псевдо)римановой метрики g и VX, Y,Z G X(A) имеется формула Кошуля:
2g(VyX 0 Z) = X(d(g(Y 0 Z))) + Y(d(g(X 0 Z))) —
Z(d(g(X 0 Y))) — g(Y 0 [X, Z]) — g([Y,X] 0 Z) + g(X 0 [Z, Y]).
Тем самым, применяя данную теорему к построенной последовательности конечных спектральных троек получим связность, некоторым образом приближающую связность Леви-Чивиты исходного многообразия M. В ходе дальнейших работ планируется более тщательно исследовать построенные спектральные тройки, а также написать программу, вычисляющую связность для модельных примеров.
