О дифференциальных операторах с периодическими коэффициентами на вещественной оси

1. Введение 5
2. Основная лемма 8
3. Асимптотики при малых потенциалах 13
3.1. Максимальный вещественный корень р 13
3.2. r0 является собственным числом при некотором 9 = 0 14
3.3. Отрицательность коэффициента 15
4. Минимальность r0 18
5. Положение минимума 19
6. Порядок минимумов 20
Список литературы 21

Купить

Мы рассматриваем оператор в L2([0,1])
(1) (ф) + V (x)
ydx J e
с квазипериодическими граничными условиями
(2) u(1) = ei6*u(0), u'(1) = ei6u'(0), u''(1) = ei6*u"(0), u'"(1) = егеит(0).
Для всякого 0 G R такой оператор самосопряжён, а его спектр дискретен и накапливается к бесконечности. Пусть An(0) — n-ое собственное число. Заметим, что эти функции четны, ведь если и — собственная функция при 0, то, комплексно сопрягая соответствующее равенство, можно получить, что и — собственная функция при -0. По смыслу граничных условий эти функции также 2п-периодичны.
Нас интересует зависимость наименьшего собственного числа Ат (0) от граничных условий. При порядке производной 2 в первом слагаемом первое собственное число достигает единственного минимума в 0 = 0. Мы покажем, что при порядке 4 0 = 0 не является точкой минимума для непостоянного малого потенциала V.
При добавлении постоянной к потенциалу все собственные значения изменяются на ту же постоянную, что не влияет на положение минимума, так что в дальнейшем мы будем считать, что )0 V(x)dx = 0.
Теорема 1. (Основная) Для всякого потенциала V G L1([0,1]), j0 V = 0, для всех достаточно малых 7 = 0 первое собственное число оператора (d))^ + yV(x) в точке 0 (обозначенное выше А1 (0)), достигает минимума в точности в точках ±00, где
0о = Cvy + O(y2), Cv > 0.
Оба этих минимума второго порядка.
Рассмотрим соответствующую данному оператору задачу Коши с начальными данными в точке t = 0:
(3) u(4) (t) + (V (t) — A)u(t) = 0
пусть Фз(t,A), ^jfc)(0,A) = j, j = 0,1, 2, 3 — её фундаментальные решения.
Ей соответствует линейная система первого порядка w1 = Aw с матрицей
0 1 0 0
A(t,A) = 0
0 0
0 1
0 0 i
V — V (t) 0 0 0

У нее есть фундаментальная матрица и матрица монодромии M(A) = Ф(1, A). У задачи (3) будет решение, удовлетворяющее граничным условиями тогда и только тогда, когда егв будет собственным числом матрицы монодромии M .

Рассмотрим x(Z) — характеристический многочлен матрицы монодромии. Оказывается, его коэффициенты симметричны.
Лемма 1. <4х(1/<) = Х(С)•
Доказательство. Чтобы это увидеть, введем следующую матрицу

Заметим, что при умножении ее на матрицу системы получается самосопряженная матрица для всякого t:
0 0 -1 0
AJ = 0 1 0 0
-1 0 0 0
Это позволяет написать следующее: 0 0 0 A - V)
JA = (JA)* = -A* J
Умножая это равенство с обеих сторон на J, получаем схожее с ним:
AJ = - JA*
Теперь мы можем показать, что сопряженная и обратная к матрице монодромии сопряжены между собой (в частности, у них один и тот же характеристический многочлен):
Ф' = A$ ^ (Ф* 7Ф)' = Ф* (A* J + ТЛ)Ф = 0 ^ Ф* JФ = J ^ Ф* = J Ф-1 J-1.
Подставляя t =1, получаем
M* = JM-1J-1,
после чего мы можем воспользоваться вещественностью матрицы монодромии и вывести из этого желаемое утверждение.
det(M - (I) = det(MT - (I) = det(M* - (I) = det(M-1 - (I) Но det M =1, так как Tr A = 0 и Ф' = AФ.
Тем самым, многочлен имеет вид (где Zj - его корни):
x(Z) = Z 4 + aZ 3 + bZ 2 + aZ + 1,
a = -Z1 - <2 - <3 - <4 = - Tr M,
_ (Z1 + Z2 + Z3 + Z4)2 - Z12 - Z22 - Z32 - Z42
b = 2_> ZiZj = 2
где мы воспользовались теоремой Виета.
Многочлен симметричен, а степень его четна, и потому его корни можно разбить на пары взаимно обратных, а значит возможно разложение следующего вида:
x(Z) = (Z 2 + 2cZ + 1)(Z 2 + 2dz + 1),
коэффициенты которого связаны условиями
c + d = a/2, 4cd + 2 = b.

В таком случае
(6) xK)= Ф — 20пm — vp}< + 1) Ф — ^4ttm + jpy + 1 и наличие у многочлена корней вида егв определяется принадлежностью
(7) 4тГM(А) ± УТ(А) е [—1,1].
Это в дальнейшем и будет обуславливать интерес к следам степеней матрицы монодромии.

Купить