На категории открытых подмножеств топологического пространства определено понятие пучка. Неформально говоря, пучок - это такой предпучок, согласованные локальные сечения которого единственным образом склеиваются в новое сечение на большем открытом подмножестве.
Аналогично, можно рассмотреть понятие пучка на произвольной категории с топологией Гротендика. Примером такой топологий служит, например, топология Нисне- вича на категории Sm/C гладких комплексных алгебраических многообразий.
Полезным свойством топологии Нисневича оказывается тот факт, что свойство пред- пучка быть пучком проверяется на т.н. элементарных квадратах Нисневича.
Определение 1.1. Элементарным квадратом Нисневича в Sm/C называется коммутативный квадрат с некоторыми свойствами (определение 2.1)
U"' > X'
p p (1)
U > X
Элементарный квадрат Нисневича является аналогом открытого покрытия для топологии Нисневича. Оказывается для когомологических теорий часто можно построить точную последовательность Майера-Вьеториса по такому квадрату, не смотря на то, что когомологические теории почти никогда не бывают пучками. Тем самым необходимо уметь строить такие квадратики.
Не секрет, что разного сорта когомологически теории играют огромную роль в разных областях математики. Тем не менее, часто не удается вычислять их явно. Один из подходов к решению этой проблемы состоит в том, чтобы "разбить"вычисление на меньшие кусочки. В данном случае нас интересует фильтрация на когомологиях по размерности носителя когомологического класса. Мы приводим новое доказательство основного утверждения знаменитой статьи С.Блоха и А.Огуса [1]. Грубо говоря, оно утверждает, что если расширить носитель когомологического класса, то этот класс будет обнуляться в окрестности любой точки. Главная особенность этого нового доказательства в том, что на когомологическую теорию мы накладываем очень мало требований (в отличии от статьи С. Блоха и А. Огуса)
Работа устроена следующим образом. В разделах 2 и 3 формулируются и доказываются абсолютная и относительная версии этого утверждения (теоремы 2.2 и 3.2 соответственно) В разделе 4 приводятся примеры когомологических теорий, к которым применимы эти теоремы.
Обозначения и соглашения:
Sm/C - категория гладких алгебраических многообразий над полем C SmOp/C - категория пар (X, U), где X, U G Sm/C и U С X - открытое. Морфизм из (X, U) в (Y, V) это морфизм f : X ю Y т.ч. f (U) С V
Ab - категория абелевых групп Пару (X,X — Z), где Z С X замкнуто, будем обозначать (XZ). Точка - замкнутая точка, если не оговорено обратное.
Теории представимые в гомотопической категории. Рассматриваются функторы Manop ^ Top (сравните с 4.1.4) представимые в гомотопической категории. Заметим, что гомотопическая инвариантность выполнена автоматически. Тем не менее, для таких теорий точность последовательности Майера-Вьеториса не имеет смысла т.к. множество классов гомотопических отображений не образует группу. Тем не менее, выполнен такой аналог, которого достаточно:
Лемма 4.3.1. Если AU B = X открытое покрытие в комплексной топологии, и даны два согласованных гомотопических класса a G [A, S] и в G [B, S] т.е. a|AnB = в|лпв 6 [A П B, S], тогда найдётся класс у G [X, S] т.ч. y|A = а и у|в = в
Доказательство: Пусть Н : [0,1] х (A П B) ^ S гомотопия между a|AnB и в|AnB. Т.е. H0 = а и Н1 = в. Построим у кусочно. Пусть ф непрерывный спуск с 1 на A — B в 0 на B — A. Тогда
{
Нф, на A П B
а, на A — B
в, на B — A
